运用极限的定义，证明极限的四则运算法则，一举两得

　　极限的四则运算法则是：当数列{an},{bn}分别以a,b为极限时，数列{an±bn}的极限是a±b, 数列{anbn}的极限是ab；当bbn不等于0时，{an/bn}的极限是a/b. 当函数f,g分别以a,b为极限时，函数f±b的极限是a±b, 函数fg的极限是ab；当bg不等于0时，{f/g}的极限是a/b.

　　

　　可见，虽然极限分为函数极限和数列极限，不过它们的四则运算法则是一模一样的。以下就以数列极限为例，来归纳极限的四则运算法则。

　　为了证明极限的四则运算，我们需要先证明两个引理：

　　引理：(1)若lim(n->∞)an=a，则lim(n->∞)(-an)=-lim(n->∞)an=-a.

　　(2)若lim(n->∞)an=a，则a·an≠0；则lim(n->∞)(1/an)=1/a.

　　证：ε>0，正整数N，使当n>N时，有|an-a|<ε;

　　(1)又|-an-(-a)|=|an-a|<ε; 所以lim(n->∞)(-an)=-lim(n->∞)an=-a.

　　(2)由保号性定理知，存在k>0，使|an|>k，则有

　　|1/an-1/a|=|(an-a)/(a·an))<ε/(|a|·k), 所以lim(n->∞)(1/an)=1/a.

　　引理(1)可以说是关于相反数(对应项互为相反的数列)的运算法则；引理(2)则可以说是关于倒数(对应项互为倒数的数列)的运算法则。

　　接下来开始证明极限的四则运算法则：

　　定理：设{an}与{bn}为收敛数列，则

　　(1)lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;

　　(2)lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

　　若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，则lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

　　证：设lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，则ε>0，正整数N，

　　使当n>N时，有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.

　　(1)则|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

　　所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;

　　∵an-bn=an+(-bn)，

　　所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.

　　(2)由有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn|<M.

　　∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.

　　∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

　　∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

　　另外，由极限的四则运算法则还能得到两个推论，即数列极限与常数的四则运算法则。(以下c为任意实数)

　　推论一：若lim(n->∞)an=a，则lim(n->∞)(an+c)=a+c；

　　推论二：若lim(n->∞)an=a，则lim(n->∞)can=ca，

　　当a·an≠0时，lim(n->∞)c/an=c/a.

　　不论是数列极限还是函数极限，都遵循极限的四则运算法则。请模仿上面的证明过程，自行证明函数极限的四则运算法则。

　　最后举一个应用函数极限四则运算法则的实例：求极限lim(x->π/4)(xtanx-1).

　　解：原极限=lim(x->π/4)x·lim(x->π/4)tanx-1=π/4-1.

　　灵活运用这些法则，大部分求极限的问题，我们就能轻松解决了。

　　举报/反馈