2019年江苏高考数学真题，求距离的最小值，2个方法轻松搞定

　　大家好！本文和大家分享一道2019年江苏高考数学真题。这道题求的是点到直线的距离的最小值，综合考查了点到直线的距离公式、基本不等式、导数的几何意义等知识。这道题的难度并不算大，下面和大家分享本题的2种解法。

　　基本不等式是高中数学非常重要的一个不等式。近年来单独考查基本不等式的题目已经越来越少了，更多的则是将基本不等式作为求最值的工具与其他知识结合来综合考查。

　　用基本不等式求最值是需要满足三个条件，即“一正二定三相等”。“一正”指的是各项都必须为正数，“二定”指的是各项的积或和为定值，“三相等”就是要验证等号成立的条件。其中，“三相等”是很多同学容易忽略的一点，一定要引起重视。

　　回到题目。由于点P是曲线y=x+4/x(x＞0)上的动点，结合对勾函数的图像可知点P在第一象限，也就是说点P的横纵坐标都是正数。不妨设点P(a,4/a)，其中a＞0，那么根据点到直线距离公式可以得到点P到直线x+y=0的距离为：d=|a+a+4/a|/√2=√2|a+2/a|。由于a＞0，则2/a＞0，故去掉绝对值符号，得到d=√2(a+2/a)，接下来用基本不等式就可以求出d的最小值。当然，不要忘记验证等号成立的条件。

　　导数的几何意义：曲线在x=a处的导数值就是曲线在对应点处切线的斜率。我们通常利用导数的几何意义来求曲线在某点处的切线方程。

　　回到题目。要求曲线上的点到定直线的距离的最小值，那么什么时候最小呢？我们可以过曲线上的点作定直线的平行线，当所作的直线是曲线的切线时，距离最大或最小。所以解题的关键就是找到曲线与定直线平行的切线。

　　对y=x+4/x求导，得到y'=1-4/x^2。而直线x+y=0的斜率为-1，所以由1-4/x^2=-1，解得x=√2或x=-√2。又x＞0，所以x=√2。然后，可以求出对应切点Q的坐标为(√2,3√2)。到了这一步，有的同学就把切线方程求出来，然后再求平行线间的距离，从而得到答案。其实，已经知道平行线上的一个点了，我们也可以用点到直线距离来代替平行线间的距离，两者是一样的。这样做的好处就是省了求切线的过程。

　　这道题的难度不大，对于高中生来说是必须要掌握的。要考上好一点的大学，就不能在这些简单题上丢分。

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