一课研究之由“尺规作图”到推理意识——“三角形三边关系”的教学实录及评析

　　原标题：一课研究之由“尺规作图”到推理意识——“三角形三边关系”的教学实录及评析

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　　大家好！我是一课研究团队第14小组的成员顾英杰，来自江苏省苏州市昆山市玉峰实验学校。很高兴与您在一课研究微信平台中相遇。

　　本期内容有哪些

　　听一听：信息技术环境下小学生数学深度学习的培养策略——以五年级下册《转化的策略》一课为例

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　　——本期听书内容选自中小学信息技术教育《信息技术环境下小学生数学深度学习的培养策略——以五年级下册《转化的策略》一课为例》。

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　　由“尺规作图”到推理意识

　　——“三角形三边关系”的教学实录及评析

　　顾英杰 执教（昆山市玉峰实验学校）

　　朱红伟 评析（苏州工业园区教师发展中心）

　　教学内容：苏教版国标本四年级下册第77页例3及第78页练一练。

　　教学目标：

　　1、让学生通过观察、操作、尺规作图等活动，了解三角形中任意两边长度的和大于第三边，能判断组成一个三角形的三条边的长度。

　　2、使学生感受操作、实验可以发现数学知识或规律，体会操作、实验是探索数学知识的重要途径和方法，并通过操作、观察、比较发现规律，归纳结论，发展观察、比较和概括等思维能力和空间观念。

　　3、使学生在发现规律的过程中，增强对数学规律的新奇感，积累操作实验和探究交流等活动经验，提高学习数学的兴趣和积极性。

　　教学重难点：

　　重点：探究三角形的两边之和大于第三边的关系。

　　难点：探究、理解三角形的两边之和大于第三边的规律。

　　教学过程：

　　一

　　复习导入，方法铺垫

　　师：同学们，上节课我们学习了用尺规作图画三角形，还记得吗？

　　生1：画底边

　　生2：定交点，然后连线。

　　师：同学们都能用这样的方式画一个三角形吗？

　　学生尝试画出一个三角形，再说一说你是怎么画的。

　　评析

　　尺规作图是老师在上节课补充学习的内容，对于四年级学生来说，具体操作有一定的难度。教师在上课伊始马上复习尺规作图的方法，并让学生实际操作一下，有利于唤醒学生的记忆，为后续学习做好了方法的准备。

　　二

　　操作发现，提出问题

　　师：三角形由三条边围成的。老师这里有2种颜色的直条各三根，表示三角形的三条边，请两位同学在黑板上围出一个三角形，看谁围的速度快？

　　指名两位学生在黑板上操作。

　　师：大家觉得怎么样？

　　生：女生围出了一个三角形，而男生没有围成。

　　师：这位男生没有围成，但是不要气馁，你能跟大家说说围的时候有什么感受吗？

　　生1：这两条边太短了，这条边太长了，围不成三角形。

　　生2：能不能围成三角形，和它三条边的长度有关系。

　　师：你们的意思是三条线段的长度有问题，所以这三条边不能首尾相接，是吗？

　　师：刚才围三角形的操作中，我们发现：有的能围成，有的不能围成（板书）。同学们还发现，能不能围成三角形，与三条边的长度有关（板书：发现问题），那接下来你们想研究什么问题？

　　生：三条边的长度有怎样的关系才能围成三角形？（板书）

　　师:同学们不仅发现了问题，还能提出问题（板书），真了不起！今天这节课我们就一起来研究三角形的三边关系。揭示课题：三角形的三边关系。（板书）

　　评析

　　提出两位学生的“比赛”，初步感受到：不是任意三条边都能围成三角形的，有些能，有些不能，那哪些能，哪些又不能？引发学生的思考，在具 体的学习活动中，引导学生提出问题：怎样的三条边才能够围成呢？问题是学习的起点，问题能驱动学生主动地学，激发学生进一步探究的欲望。

　　三

　　合作探究，分析问题

　　1.初步感知

　　师：老师给大家准备了4条线段，分别长2cm，4cm，5cm和8cm，从这4条边中任选3条边围三角形有哪几种搭配？

　　学生独立操作，并记录情况。

　　师：4条线段有哪几种搭配？

　　生：2cm，4cm，5cm；2cm，4cm，8cm；2cm，5cm，8cm；4cm，5cm，8cm，我发现有这四种搭配情况。

　　师：哪几种搭配能围成？

　　

　　师：你有什么想法？

　　2.操作发现

　　师：好的，下面我们就用尺规作图来研究一下，大家看活动要求：

　　（1）出示活动要求：

　　活动一：尺规作图

　　① 4人小组里按序号每人研究一种;

　　② 用尺规作图画一画，能围成的画出三角形，并标好数据；

　　③ 不能围成的也要画出作图痕迹说明，标好相应数据；

　　④ 完成后4人小组里相互检查一下画的是否正确，并在表格里汇总结果。

　　（2）学生用尺规作图的方式分组操作活动。

　　（3）教师组织交流：谁来分享一下你的研究结果？

　　生1：搭配一能围成三角形。

　　生2：搭配二不能围成三角形。

　　生3：搭配三不能围成三角形。

　　生4：搭配四不能围成三角形。

　　师：我们发现这四种情况：有的能围成；有的不能围成。我们先来研究围不成的情况。

　　

　　师：来看研究搭配二这位同学的作图痕迹，你能看懂吗，谁来说说看这条弧表示什么意思？

　　生：这条弧上任意一点到这个端点的距离都是2厘米长的线段；这条弧上任意一点到这个端点的距离都是4厘米的线段，这两条弧没有交点，所以围不成三角形。

　　追问：真有想象力，谁再来说说为什么2cm，4cm，8cm这三条线段围不成三角形？

　　生1：因为4厘米、2厘米的线段太短了，没有交点，所以围不成三角形。

　　生2：因为这两条线段长度的和小于8cm，所以围不成。

　　师：说的真好，2厘米和4厘米线段太短了，它们的长度和小于8厘米，三条线段不能首尾相接，所以围不成三角形。再来看研究搭配三这位同学的作图痕迹，谁来说说为什么2cm，5cm，8cm这三条线段围不成三角形？

　　生：因为2cm和5cm的长度和小于8厘米，所以围不成。

　　师：都同意吗？我们来看一下动画演示，能首尾相接吗？看来，确实围不成三角形。、

　　3.分析提炼

　　师：我们再来看能围成的两种情况，每组的三条线段又有怎样的关系呢？我们先来看左边的三角形，谁来说说看？

　　生1:4cm和5cm线段的长度和比8cm大

　　师：写成算式应该是怎样的？

　　生1：4+5=9>8

　　师：对，也就是4+5＞8。那我们换个角度看看，你还有发现吗？

　　生2:4+8＞5

　　师：再换一个。

　　生3:5+8＞4

　　师：看来，在这个三角形中，任意两边之和大于第三条边。那搭配四画出的三角形中的三条边是不是也有这样的关系呢？谁来说说看？

　　生：2+4>5，2+5>4，4+5>2

　　师：看来，在这两个三角形中，任意两边之和都大于第三条边。

　　师：再来看围不成的这两种情况，每组的三条线段又有怎样的关系呢？你能用算式来表示吗？先来看左边这种情况

　　生1：2+4＜8，2+8＞4，4+8＞2

　　师：那这个呢？

　　生2：2+5＜8，2+8＞5,5+8＞2。

　　师：仔细观察这两种围不成的情况，都有什么共同的地方？

　　生：都有一组两条边的长度和小于第三条边。

　　师：观察的真仔细，非常好！

　　师：我们把能围成的和不能围成的放在一起看，你觉得怎样的三条线段能围成三角形？

　　生：任意两边之和大于第三条边，这样的三条线段能围成。

　　师：这边也有两条线段的长度和都大于第三条线段，为什么围不成？

　　生：因为有2+4＜8,2+5＜8

　　师：所以我们说，任意两边之和大于第三条边。（板书）

　　评析

　　教师让学生通过动手操作，初步感知三根小棒有些能围成三角形有些不能围成三角形，从而产生问题：哪种情况下的三根小棒才能围成？教师顺势而为，让学生利用所学的尺规作图的方式，通过画弧线来理解当两条短边的和小于或者等于最长边时，就围不成三角形，反之则可以围成，让学生初步建立对“三角形三边关系”的猜想。

　　4.验证深化

　　师：同学们真了不起，对于三角形的三边关系有了初步的猜想（板书）。是猜想，我们就需要去（验证）。

　　（1）出示活动要求：

　　活动二：任意画三角形

　　① 先用直尺画一个三角形；

　　① 再量出三角形每条边的长度（以毫米做单位）；

　　② 最后算一算验证猜想是否正确。

　　（2）学生选择一种三角形操作活动。

　　（3）组织交流：

　　师：你画了怎样的三角形？它们三边之间有怎样的关系？

　　生：我画了直角三角形，这个三角形的任意两边之和大于第三条边。

　　……

　　师：你们画出的三角形，都满足任意两边之和大于第三条边吗？

　　师：有没有画出的三角形不符合这样的情况？

　　师：通过我们的验证，我们知道：三角形任意两边长度的和大于第三边。（读一读）我们归纳出了这样的结论（板书：归纳）

　　师：我们一起解决了开始的问题（板书：解决问题），要满足什么关系才能围成三角形？

　　……

　　评析

　　初步形成猜想后，让学生及时验证自己的猜想，教师通过让学生画一个任意三角形，并自己动手测量三角形的边长，验证并深化认识，知道三角形任意两边之和都大于第三边。又借助教师的反问，来完善认识。

　　四

　　应用内化，解决问题

　　1.实践应用

　　依次出示习题，学生练习并组织交流。

　　（1）小明准备用一些木条钉三角形框架，你能帮他选出哪组能围成三角形吗？

　　（2）从学校到少年宫有几条路线？走哪一条路比较近？

　　

　　2.拓展提升

　　出示习题：

　　老师已经选了4cm和6cm长的两根木条。

　　（1）要钉成一个三角形框架，第三根木条应该选多少厘米？

　　（2）第三根木条在什么范围内就能围成三角形呢？

　　评析

　　教师在第一层次先安排两道习题，让学生独立完成，突出在应用中加深理解三角形三边的关系，让学生会用数学的眼光观察，会用数学的思维思考，会用数学的方式表达。在第二层次中，第一问也是实际应用，教师没有停留在这一层面，而是继续追问，让学生说出第三边的范围。在教学中教师引导学生利用尺规作图的方法，让学生直观观察、想象、推理等方式知道第三条边的范围，从而提高对三角形三边的关系的理解水平，发展数学思维。

　　五

　　全课总结，交流收获

　　师：今天我们一起学习了三角形三边关系，它们有怎样的关系？我们也经历了解决问题的全过程，你有什么收获？

　　总评

　　《义务教育数学课程标准（2022版）》强调：“数学课程要培养的学生核心素养”，提出：“课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力，形成正确的情感、态度和价值观。”随着对新课标学习，教师们勇于实践，也深化了对新课标的认识。顾英杰老师在“三角形三边关系”一课中，也努力将新课标的理念在课堂中落实，全课在学生充分的活动中，有层次地学习“四基”发展“四能”，从而培养学生核心素养，尤为突出的是以下两点：

　　1. 借助尺规作图，发展推理意识。

　　《义务教育数学课程标准（2022版）》在“课程性质”中提到：数学 “是运算和推理的工具”，在“课程内容”中提出了“尺规作图”等学习方式，在第二学段的教学提示中提出：“图形的认识教学要引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边，并说出其中的道理，经历根据“两点间线段最短"的基本事实说明三角形三边关系的过程，形成推理意识。”

　　顾老师在全课的教学中，一共出现三次“尺规作图”，第一次是在复习旧知时，让学生经历一下尺规作图的方法，唤醒旧知与活动经验，为后续的学习做好方法的准备；第二次是在探究新知时，先让学生搭一搭，初步感知围成一个三角形与它的三条边的长度有关，再通过学生的观察、探讨等活动，想一想能围成三角形的三边有怎样的关系？然后才让学生经历尺规作图的学习活动，在作图后特别强调了研究“作图痕迹”、思考“这条弧表示什么意思”，通过操作、观察、思考、推理等学习活动，帮助学生真正认识三角形三边的关系；第三次是在拓展提升时，让学生先选一选，根据三角形三边的关系找出符合条件的“木条”，在让学生想一想，怎样的“木条”才能符合条件，然后又引导学生用“尺规作图”的方式来研究一下符合条件的“木条”在怎样的范围里，由简单的实际运用，到借助“尺规作图”进行合理地推理。

　　小学生空间观念偏弱，进行逻辑推理的能力欠缺，需要借助几何直观来帮助学习。用小棒等学具拼搭三角形可以来研究三角形三边的关系，但由于学具本身或其他因素的影响，会使研究不太严密，有时也难以将“特殊”推理到“一般”。而“尺规作图”不仅给学生探究三角形三边关系提供了一种新的方法，并且在这样的活动中更好地感受数学的严密性，这样的活动过程更契合推理的过程，直观感受了几何图形的变化规律，有利于发展学生推理意识和实践能力。

　　2.借助问题驱动，发展学生“四能”。

　　《义务教育数学课程标准（2022版）》在“课程理念”中强调：“学生的学习应是一个主动的过程”，“鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题”。课堂教学中，教师要善于引导学生发现问题、提出问题，善于在学生的问题中提炼问题、设计问题，在核心问题的指引下，进一步设计紧密关联、前后呼应的问题链，依托问题驱动学习活动，在学习活动的过程中学会分析问题，进而解决问题。

　　教师在新课伊始，通过用线段围三角形的游戏活动，让学生自己发现问题：不是任意三条边都能围成三角形，随后在教师的引导下，学生提出问题：怎样的三条边才能够围成呢？在学生自己发现和提出问题的过程中，进一步激发了学生的探究欲望，并以此问题，驱动学生全课的探究活动；在新课学习中，学生无论是在操作中观察，在探究中思考，在尺规作图中研究，还是在验证中推理，都是紧紧围绕着“怎样的三条边才能围成三角形”这一问题开展的，让学生有层次的经历分析问题的过程，由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由特殊到一般，循序进行，螺旋上升，进而解决问题；教师没有止步于解决学生提出的问题，学以致用，让学生在解决实际问题中去发展“四能”，通过变式练习、解决具体生活情境中的问题等，实现更高水平上的认识和推理，从而提高对三角形三边的关系的理解水平，发展学生的数学思维。

　　在学习的过程中，教师有意识地让学生完整地经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。这里的提出问题是指提出合适的数学问题，从发现问题到提出问题，往往要经历从语言表达到数学表达的过程。教师要帮助学生从数学角度去审视问题，引导学生会用数学的眼光观察现实世界。在分析问题和解决问题的过程中，要引导学生主动积累解决问题的经验，知道解决现实问题不仅要关注数学的知识，更要发现问题的本质与规律，然后用数学的概念、定理或公式予以表达，引导学生会用数学的思维思考现实世界，引导学生会用数学的语言表达现实世界。

　　想一想

　　数字黑洞

　　任选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7步以内必然会得到6174。

　　例如，选择8080：

　　8800－0088=8712

　　8712－1278=7443

　　7443－3447=3996

　　9963－3699=6264

　　6642－2466=4176

　　7641－1467=6174

　　6174这个“黑洞”叫卡布列克常数。

　　任选一个三位数，会出现怎样的“黑洞”呢？

　　

　　你若盛开 蝴蝶自来

　　本期审核人：蓝海鹏、陈芳、王艺洁

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