神奇数学之鱼的游动

　　不知道你有没有玩过捕鱼达人？在2009年相当火的一款手机游戏，即使到现在，还是有不少人热衷于发射各种各样的炮弹去抓捕那些漂亮的鱼儿，我以前也经常玩这个游戏作为消遣，而且在游戏中我还成为了百万富翁，唉，说多了都是泪，我喜欢这个游戏，更喜欢那些婀娜多姿的鱼儿

　　这些鱼儿沿着各种各样的路线游动，伴随着妖艳的姿势，我试着想如何才能实现这样的运动，或者可以更漂亮一些吗？

　　作为数学专业的我来说，不管这些鱼的路径是什么样，在我看来都能转换为一个数学方程式，数学就是这么的神奇，让我从小迷恋，直到永远，让我们一点一点的还原这些数学方程式吧

　　最简单的运动方式莫过于直线了吧，你很快就能想到y=kx b，斜切式方程（恭喜你猜对了， 0分，这么简单，你好意思加分么），当k==0时，就是水平方向运动，当k==∞时，就是垂直方向运动（不应该是x=b吗？是啊，x=y/k-b/k，当k==∞时，y就是孙子你知道吗？所以x=-b/k，又由于[0，1）之间的数与[0，∞）之间的数是一样多的，所以对于b来说k=1，所以x=-b，再根据对称性得到x=b，一切就是这么简单，不管你信不信，反正我信了），这样鱼就能够沿着某个方向运动了。

　　

　　看到这些沿着直线游来游去的鱼儿真没劲，曲线！圆滑曲线才是我的最爱。记得在大学里的时候在数值分析中学了各种各样的插值算法，引用某大神的一句话就是：给我几个点，我就能给你一条漂亮的圆滑曲线，对于多项式插值来说，结果都是唯一的，只是精度的问题，这里我们就随便挑一个实现，拉格朗日插值。

　　先欣赏一下漂亮的算法公式

　　

　　然后来一段代码压压惊

　　

　　全套服务虽然有了，但我们的体验全部都仅仅是笛卡尔坐标系下的x，y而已，这些完全没法让我们达到高潮，让我们深入一点，极坐标系，r与θ的各种姿势，慢慢的我们就会来到高潮，下面让我们一个一个的体验这些套餐

　　别急，你不想撑过三十秒么，让我们先做做准备

　　代码是最好的镇静剂

　　r = 12*θ (0=<θ<10π)

　　

　　r=200*(1-sinθ) (0=<θ<2π)

　　

　　r = 350*sin2θ (0=<θ<2π)

　　

　　r^2 = 2500*cos(2θ) (0=<θ<2π)

　　

　　在这里你的一切需求都可以得到满足，傅里叶变换，神一样的存在，可以将任何图形用方程式叠加出来，很显然，这里已经到了收费环节，而且前面我也说了，不能提供收费服务，请转到掐死他，以及未满十八岁禁止入内。

　　(8π<t<10π)

　　

　　好了，我们已经很明确知道鱼儿的位置了，接下来我们得干另一件大事了，还记得学校军训吗？（这辈子都记得，特别是那教官凶神恶煞的表情）你走一个非常整齐的方阵，哇，漂亮极了，但是突然教官来一句：向左转，然后就尴尬了，有人左右不分了呀，有没有！一个漂亮的方阵就这样被毁了，所以方向是很重要的！

　　方向，那是文科生的叫法，一个字，Low，理科生都叫导数，有了方程式，求个导数就行了嘛，来，我们先科普一下求导，慢慢看，下课（怎么就下课了呀，有些同学已经迷失在了求导的路上，要报警了，某些方程式没有导数或者在某个点不存在导数）这个方式即不通用也不简单，一点都不能满足大众的需求，那让我们返璞归真，导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近，简单点说在A1(x1, y1)点的导数，就是找到下一个点A2(x2, y2)与A1无限靠近，这个时候(y2-y1)/(x2-x1)就是A1点处的导数（当然了，非连续的点另行处理）再让我们看看前面得到的成果，我们已经知道了鱼儿有任何时刻的位置了，而每帧（1/60s）鱼儿的位置变化其实是很小的，至少对于我们肉眼来说，连续两帧的位置已经足够我们确定鱼的方向了。另一方面，取下一个点和取上一个点其实结果一样，我们只要算出当前的点，而上一个时刻的点已经为我们准备好了，所以方向是很容易确定的。

　　解放军演习的时候，那方阵走得多完美，整齐，方向正确，还有一个重要的点就是，每个士兵之间的间隔都是一模一样的（当然浮点数计算误差不考虑）同样，我们这里也需要处理这件大事，一方面是为了漂亮，另一方面其实这个会影响我们前面算的方向，我们需要鱼儿沿着我们计算好的路线尽量的匀速前进。要解决这个问题，又可以引出一堆理论知识，我们直接抛弃，不然又要下课了，直捣黄龙，什么叫匀速，虽然我高考语文只考了69分，但我知道，匀速就是如果你跑快了，你就缓一缓，你要是跑慢了，你就加把劲。

　　在这里，我们给定一个匀速的范围（不要死心眼，匀速就一定要追求一模一样，电脑是奴隶，也是爱人，适当的关爱还是需要的）我们先计算1帧的位置，如果与前一帧的距离正好在设定的范围内，恭喜你，如果太大或太小怎么办呢？聪明的你可能很容易就联想到了二分法，如果太小，那我们就加倍跑，如果还小继续加倍，直到超过或在设定的范围内，这个时候我们就确定我们想要的时刻在2^N到2^(N 1)之间了，再在这个区域内进行2分法找到我们想要的时刻就OK了。

　　最后到了该说再见的地时候了，顺便分享一下关于鱼群简单的思路，一种最笨的方式就是创造N条路线，让这些鱼儿游动起来像个鱼群；另一种就是以某条鱼作为一个首领，首领给定路线，其它鱼在该鱼的后面一个区域内产生，然后某条鱼的游动路径就是该鱼当前点的位置，首领鱼当前点的位置，N帧（随机取一个范围）后首领鱼的位置做一个贝赛尔曲线，这就是该鱼在N-5帧（比首领鱼延迟一些），然后再算下一个M帧的路径，这样，这些鱼都会跟随首领鱼游动看起来也会很像一个鱼群哟；如果你不满足这些，那就去google鱼群算法吧。

　　如果需要更多服务，请拨打freeblank.xie@gmail.com