一道清华自主招生考试数学题，看似简单，难住不少考生

　　大家好！今天和大家分享一道清华大学自主招生考试的数学题：已知f(x)=x-6，求方程f(f(x))=x的解。清华大学作为国内最顶尖的高校之一，自主招生考试题自然不会很简单。就像这道题一样，看似简单，却难住了不少的考生。

　　下面我们一起来看一下这道题目。

　　这是一道函数与方程的综合题。

　　根据常规思路，要解方程，那么首先要把这个方程的完整形式呈现出来。这个方程的右边很简单，我们需要先把左边部分给表示出来。

　　因为f(x)=x-6，所以根据复合函数的概念可以得到f(f(x))=f(x)-6=(x-6)-6=x。此时，方程的形式终于完整呈现出来了，如下图。

　　计算到这儿此题都还算正常，可是这个方程怎么解呢？如果是硬解，也方程是一个九次的高次方程，难度可想而知，所以一定有更加简单的方法。

　　先观察一下方程的形式，出现两个3次幂的形式：x和(x-6)，那么我们可以考虑能否用到立方和或者立方差公式呢？公式如下图：

　　如果从x-6入手利用立方差公式变形，那么离6最近的一个立方数是8，那么x-6可以写成x-8+2，其中x-8=(x-2)(x+2x+4)，但是这样处理后，后面又怎么处理呢？后面并不好处理，所以这样变形没有达到预期效果，然后可以考虑在外层使用立方差公式变形。

　　外层(x-6)-6可以变形为(x-6)-8+2，对(x-6)-8因式分解可以得到(x-6-2)[(x-6)+2(x-6)+4]=(x-8)[(x-6)+2(x-6)+4]，再继续分解可以得到(x-2)(x+2x+4)[(x-6)+2(x-6)+4]。此时出现了x-2这一项，再回过头看一下，刚才左边加了一个2，如果移到右边，右边也出现了x-2这一项，此时分解因式就算是完成了。如下图：

　　计算到这一步，已经可以看出方程的一个根为2，接下来就需要对后面这个因式对应的方程进行求解。后面这部分如果要直接解，也是非常难的，所以也需要从形式入手，找到更简单的方法。

　　因为在实数范围内，x+2x+4=(x+1)+3≥3，同理(x-6)+2(x-6)+4配方后也是大于等于3，所以到(x+2x+4)[(x-6)+2(x-6)+4]＞9(注意不能等于9，因为两个3取等条件不一样)。所以在实数范围内，后面这部分是没有解的。综上，还方程的解就是2。

　　完整过程如下图：

　　这道清华自主招生考试题的难点是用立方差公式对方程进行变形，从而进行因式分解。你做对了吗？

　　举报/反馈