关于数学史的三大误解

　　

　　数学是一门有超过4000年悠久历史的学科。①古代世界的各大文明都发展出了自身的数学体系。17世纪以来，这些古代支流大都逐渐汇入现代数学大海之中。②按照现代的学术标准，专门的数学史研究也已经有100多年的历史。③自李俨(1892-1963)、钱宝琮(1892-1974)先生的开创性工作以来，中国数学史研究也取得了丰硕的研究成果④。

　　1988年，美国学者克洛(Michael J.Crowe)在《关于数学及其历史的十大误解》一文中提出：

　　数学方法是演绎的、数学提供确定的知识、数学是累积的、数学论断总是正确的、数学结构精确地反映了其历史、数学证明是没有问题的、关于严谨的标准是没有变化的、数学方法从根本上不同于科学方法、数学承认决定性的证伪、数学方法论的选择是经验主义、形式主义、直觉主义和柏拉图主义等十条误解[7]。

　　克氏所论当然都是有道理的，不过其所引例子基本来自西方数学和现代数学。前九条误解可以说是把现代数学的形象投射于数学史而产生的，第十条误解说明了数学史对于相关理论议题探讨的价值。

　　自从事数学史研究与教学以来，笔者在与国内一些学界同仁、学生的交流中发现普遍存在着对数学史的三大误解，即历史上有三次数学危机、数系的扩张代表着数学的进步与现代数学是西方数学(以下分别简称为“数学危机说”、“数系演进说”和“西方数学说”)。由于这三大误解不仅影响到对数学史的整体理解，而且与数学哲学议题、李约瑟问题等密切相关。故笔者特撰此文，澄清误解，以推进学界之研究。

　　一、“数学危机说”之误

　　“数学危机说”在国内一些论著里十分流行[8-12]，分别指古希腊毕达哥拉斯学派发现无理数(第一次数学危机)、17世纪以来微积分基础问题(第二次数学危机)和20世纪初集合论悖论(第三次数学危机)。这些论著实际上把数学危机作为数学史的主线。其实，只有第三次危机是被主流数学史界所接受的。

　　对于第一次数学危机，克莱因(Morris Klein)仅陈述了毕达哥拉斯学派发现不可公度量的事实，并指出该学派“并不因此不再在几何里考察所有种类的长度、面积和比，但对于数的比则只限于考察可公度的比”[13]28。李文林则说“有时被称为第一次数学危机”[4]38。卡茨(Victor Katz)直言“我们不知道谁发现了这个结果(即正方形对角线与边不可公度)，但有一些学者相信这一发现大概出现在公元前430年。并且尽管时常有人宣称这促成古希腊数学的异常危机，但仅有的可靠证据显示这一发现只是掀开发展一些新数学理论的可能性”[14]39。另一位数学通史的作者霍奇金(Luke Hodgkin)将古希腊数学史家福勒(D.H.Fowler)的观点总结为：“当谈到无理数时，最接近当时材料的柏拉图和亚里士多德从没有把这称之为一个问题；撰写早期历史的普洛克洛斯(Proclus)甚至没有谈到这一主题；被称为‘危机’的时代同样产出了许多重要的数学发现而没有遇到困难；伊安布利霍斯(Iamblichus，约公元3世纪，记载毕达哥拉斯学派希帕索斯发现无理数故事的人)是臭名昭著不自恰和不可靠的。’”[15]47总之，学术界认为发现边不可公度量至多在毕达哥拉斯学派内部形成了问题，而远未造成古希腊数学的整体危机。⑤

　　对于第二次数学危机，各家虽然都承认微积分发明之时关于无穷小解释不清，因而受到纽汶提(Bernard Nieuwentijt，1654-1718)和贝克莱(George Berkeley，1685-1753)等人的攻击，但都没有用到“危机”这个词。克莱因坦言“代数和微积分的兴起引出了数学的这些部分的逻辑基础的问题，而且这个问题并没有被解决掉”[17]。李文林则说“牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格的，特别在使用无线小概念上的随意与混乱……这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评”[4]187。卡茨直言“当时微积分的核心算法没有逻辑基础。但大体而言，数学实作者对此并不担心。牛顿、莱布尼兹、欧拉和其他数学家对此有强烈地直觉，并知道他们什么时候做的是正确的”[14]628。霍奇金说“18世纪的数学家一些人真的相信无限小是存在的，另一些人则通过他们的结果证明微积分方法的正确性，并持有一个良好的基础迟早会达到的信念”[15]180。波耶(Carl B.Boyer)把17世纪至19世纪初称作“犹豫的时期”，意指这一时期存在诸多对微积分基础的批评和研究[18]。

　　⑤事实上，除了几何传统外，古希腊还有实用算术的传统。两者大致对应古希腊四艺中的几何与算术。参见文献[16]。数学传统的多样性使得毕达哥拉斯学派内部的问题(姑且相信伊安布利霍斯的记载)，不可能形成整个古希腊数学的危机。

　　“数学危机说”其实是来自20世纪上半叶。1920年，外尔(Hermann Weyl，1885-1955)发表《数学新的基础危机》，即指由集合论悖论引起的数学危机。然而一些学者却将之回溯至古代。哈兹(Helmut Hasse，1898-1979)和肖尔茨(Heinrich Scholz，1884-1956)合撰《希腊数学的基本危机》一书，提出“希腊人是天生的几何学家，正如他们所展示的那样，我们可以确定地说在如此一场基础的危机之后，他们需要重构一个纯粹的几何学”[19]。由此可知，20世纪初一些学者从数学基础是否可靠的逻辑回溯历史，创造了“数学危机说”。该说的问题在于没有遵循如下原则：应该从当时行动者而非后世观察者的角度判断是否有数学危机。

　　“数学危机说”同时持有两种立场：累积进步史观和西方中心主义史观。累积进步史观认为数学按照基础至上层建筑累积地发展，故基础问题会导致体系的危机。但是，毕达哥拉斯学派发现不可公度量促进了比例理论的发展，学者们对微积分基础的质疑没有影响欧拉等数学家做出伟大成就。其实，数学的发展并非如盖房子一般，需先有牢固的基础，再产生上层建筑，而是可以同时或者不相互干扰地建造基础与上层建筑。进步史观受到了以《几何原本》为代表的演绎体系的影响，但演绎仅是一种书写的形式，数学的发明与创造并不遵循演绎逻辑[20]。西方中心主义史观忽视了非西方数学文明。其实，古巴比伦数学泥版就有近似值的计算《九章算术》也有开方不尽的处理，都没有遇到危机。只有把欧洲数学视作数学史的唯一主流，才能认为古希腊一个学派的危机构成了整个数学的危机。

　　数学危机说与库恩的科学革命理论有某种程度的对应。库恩把科学危机理解成反常的积累，进而促成范式的转换。[21]在此语境下，数学危机被理解成数学基础的矛盾，进而促成修补或改进基础的工作。然而，数学毕竟没有科学那样的根本性转换，以危机来解释数学史也不如库恩以范式转换来解释科学革命有力。⑥古代数学传统的多样性以及数学史的复杂性使得我们无法认为数学的发展是从一个危机到另一个危机。

　　二、“数系演进说”之误

　　“数系演进说”认为数学史上出现过多次数系扩张的事件，并导致了数学的进步。李俨的看法具有代表性，他认为“自然数产生后，必然要运算，运算离不开加减乘除，减不了便产生负数，除不尽便产生分数，正整数、分数、负数构成了有理数系。在中国周、秦简已具备了这个数系的雏形，其发展程序大概是先有正整数的运算，其次产生了分数，在后期产生了负数”[23]。纪志刚认为“数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的”[24]。确实，“数系演进说”的观念不仅来自现代数学教育，而且十分符合人们认为事物由简单到复杂的直觉。然而，该说是有问题的。

　　首先，数系扩张虽然符合现代数学的逻辑，但其实未必发生。抽象的数(即不带单位的数)未必是从具体的数(即带单位的数)抽象过来的。从古埃及和美索不达米亚两大数学早期文明看，我们难以完全掌握从具体度量发展到一般形式的过程。[25]在这两大文明中，也都没有出现从自然数发展到分数和小数的过程。古埃及数学首先出现的是度量衡系统的1/4或3/4手指等表达，进而产生了单位分数的概念——即从今天的观点看分子为1的分数，但在古埃及人看来则是一个整数的反面，因此并未发展出具有分子、分母的分数形式[2]3-7。美索不达米亚数学对数字采用60进制位值制的表达方式，亦未发展出分数形式，而是以60进制小数作为表达。[3]75-83学界往往把分数、小数与除法相联系，即认为分数和小数是自然数不能整除的结果。⑦这一认识实际不具有普遍性。古埃及数学除法与乘法的运算步骤完全相同，除之不尽的结果是产生一系列单位分数。[2]29-62美索不达米亚数学是以乘法为中心的，其除法运算需转换成乘法来计算，一些特定的数(如7)则不做除法，因而亦不产生分数。[3]97-105

　　其次，古代文明对数的理解往往不同于现代数学，因而其数系扩张的过程亦非按现代数学的逻辑。中国古代数学中负数并非作为正数的扩张出现。虽然《九章算术》卷八方程中提出了“正负术”操作法则，但该书除了方程以外的算法并不使用负数，例如卷七盈不足中本也可以使用负数却未使用。事实上，方程之正负并无现代数学的大小概念(即正数大于负数)，而只是强调两者对应，并以两种不同的算筹表示之。[27]出土简牍中的数学文献也支持类似看法。[28]印度数学中有大量对负数和零的讨论，如波罗摩笈多(Brahmagupta，598-665)在《婆罗摩悉檀多》(，628)中有专门对负数和0的讨论，也与现代数学不尽相同(例如有专门探讨对以0为除数的除法)。[29]

　　再次，数系扩张的时间顺序不按现代数学的逻辑。虽然古希腊人发现了正方形对角线与边不可公度，但这是几何意义上的，与今天无理数的概念不同。现代数学中的无理数可以分作代数数(如)和超越数(如圆周率π)两类。古希腊人的不可公度量近于代数数，而未触及超越数。现代的无理数概念要到19世纪才建立，并标志着实数的连续性和完备性。然而，早在16世纪欧洲人就已经接触到虚数和复数，按克莱因的说法“欧洲人在还没有完全克服无理数和负数带来的困难时，又晕头晕脑地陷入我们如今称之为复数的问题”[13]294。

　　总之，从世界数学史的角度看，数系的扩张有其历史的逻辑。无论从具体的数到抽象的数、从自然数到分数和小数、从正数到负数、从实数到虚数和复数，都不是简单由时间先后顺序或数学推理产生，而是通过一种由数学思想和社会文化等因素共同决定的复杂过程完成。从研究立场看，“数系演进说”也错误地采取了累积进步史观和西方中心主义史观。按照累积进步的数学史观，数学应该按照数系扩张的逻辑演进，却忽视了实际数学史的复杂性。通过忽视古埃及、美索不达米亚、古印度和古代中国数学的大量案例，“数系演进说”构建了数系扩张演进的简单图景，故其也是西方中心主义史观。

　　三、“西方数学说”之误

　　鸦片战争之后，西方列强打开中国的大门，现代数学由此传入。由于现代数学是由西人带来的，故清末学人已经将其称之为西方数学。中国数学史界也普遍接受这一说法。[30-34]其实，现代数学虽诞生于欧洲，但是却融合了东西方数学传统，与西方经典的公理化演绎数学不完全相同。⑧为此，笔者认为如果把明清之际传入的数学(以《几何原本》为代表)称为西方数学，那么清末传入的数学(以微积分为代表)则宜称之为现代数学。李文林把17世纪至18世纪的数学称为“近代数学”，把1820年代至今的数学称为“现代数学”。[4]9然而，两者有明显的连续性，在英文文献中都是modern mathematics，且区别于古代世界的诸数学文明。故笔者认为可以把17世纪至今的数学统称为“现代数学”。

　　钱宝琮实已观察到现代数学源头的多样性，他说“第5世纪以后，大部分印度数学是中国式的，第9世纪以后，大部分阿拉伯数学史希腊式的，到第10世纪中这两派数学合流，通过非洲北部与西班牙的回教徒，传到欧洲各地，于是欧洲人一方面恢复已经失去的希腊数学，一方面吸收有生力量的中国数学，近代数学才得以开始辩证的发展”[35]。吴文俊同意钱宝琮看法，进而提出数学发展的两条路线“一条是从希腊欧几里得系统下来的，另一条发源于中国，影响到印度，然后影响到世界的数学”[36]。并认为“从数学有史料为依据的几千年发展过程来看，以公理化思想为主的演绎倾向，以及以机械化思想为主的算法倾向互为消长。对近代数学起着决定作用的解析几何和微积分，实质上都是机械化思想而非公理化思想的产物”[37]。

　　林力娜(Karine Chemla)把传统的数学证明史观总结为：1、数学证明起源于古希腊，并在欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯的著作中达到成熟的形态；2、亚里士多德《后分析篇》提供了成熟的数学证明理论，并描述了推理任何知识的模型；3、在古希腊“奇迹”之前，没有值得提到的数学证明。因此数学证明是欧洲独有的；4、今天的数学证明继承了古希腊传统。[38]林力娜继而论证数学证明并非欧洲的特产，非西方数学文明中有不同传统的数学证明。就此而言，公理化演绎倾向并非欧洲独有，亦不可简单归因于西方数学。近年来数学史界的研究进一步揭示出各文明中数学实作的多样性，即单一数学传统的文明实际是不存在的。[39，40]因此以文明来称呼某种数学(如古埃及数学、古希腊数学、中国古代数学)也是不合适的。现代的数学传统也是多元的，“西方数学说”无法反映这一特征。总之，该说不仅违背了数学史既有研究成果，而且不利于凸显和论述非西方数学对世界的贡献。类似的误解也出现在中国科学史、哲学史等其他领域中。

　　现代数学史的主流叙事注意到古代世界数学文明的多样性。格拉比内(Judith V.Grabiner)认为旧的砖块将用在新的数学结构中。[41]克洛把数学类比为城堡，其发展过程不是累积性的，因为旧的数学城堡将被抛弃。[7]以此论之，笔者认为古代世界诸数学文明城堡间存在先后联系，数学的发展类似各文明之间的接力。由伊斯兰文明在13世纪时传到欧洲人手上的数学接力棒，最终在17世纪发展出了现代数学。表面上看，这一新叙事类似于李约瑟(Joseph Needham)对世界科学史“百川归海”的比喻。不同的是，李约瑟把古代文明的科学类比为各条涓涓细流，并认为这些细流最终都会进入现代科学之海。[42]新接力叙事则允许单一文明内有多个接力轨道(如古希腊和中国都有多种数学传统)，更强调文明间的传承和互动(如古希腊继承并超越古埃及和古美索不达米亚数学)，并认为诸古代文明未必都一定要进入现代文明(如在中国数学的基础上发展起来的日本和算高度发达)，历史发展的图景是去中心的、无目的的和多头绪的。

　　综上所述，关于数学史的三大误解实际都采取了错误的编史纲领。“数学危机说”误以为数学的发展是不断解决危机的过程，并以之为动力和标志性事件“数系演进说”误以为数系是在不断扩张中进步和发展的，然而不同数系可能是平行或交错发展的，亦不存在递进关系“西方数学说”误把现代数学的多样性简化为西方，抹杀了其他文明的贡献。这些误解都是进步累积史观和西方中心主义史观的产物。不难看出，它们与克洛的几条误解有相似之处，如数学是演绎的、数学是累积的、数学结构精确地反映了其历史等。然而，克氏仅从西方数学史和现代数学史得出其结论。本文在论述中突出了包括中国数学在内的非西方数学的案例，不但结论更具一般性，而且凸显了中国数学史和中国科学史等方面的意义。

　　进一步看，对三大误解的澄清有助于推进数学认识论、本体论和编史学等理论议题。“数学危机说”与认识论议题有关。林夏水认为“古希腊时期……第一次数学危机，使一些数学家和数学哲学家认为，感性直观是不可靠的，只有理性演绎推理才能保证数学的可靠性”[43]。由于“数学危机说”忽视了古代世界数学传统的多样性，因此在此基础上对“数学知识何以可能”这样的认识论问题的讨论也是片面的。从实际研究的角度看“普遍性”之类认识论价值[44]和经验与逻辑演绎的关系[38]都有很大的研究空间。“数系演进说”与本体论议题有关。林夏水认为数学的研究对象是量，量具有层次性。[43]258-279然而，数系之间的关系并不是演进的，量之间也并不存在一目了然的层次性。因此，我们必须综合数学史上所有量的种类和形式，才能在此基础上分析数学对象的存在性与客观性等议题。⑨“西方数学说”与“李约瑟问题”有关——16世纪之前中国科学技术高度发达，为什么近代科学却发生在欧洲而不是中国？学界以往的讨论往往都默认了现代数学(或科学)等于西方数学(或科学)这一前提。从数学史是文明接力的观点看，虽然欧洲与中国互为异质文明，但两者不是简单的对比关系。因此，李约瑟问题的解答不在两方文明的特质之中，而在“为何中国会丢掉文明的接力棒，现代科学的接力棒又为何会传到欧洲人手上”这一历史问题之中。

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