中考数学压轴题:动点产生的直角三角形问题,学霸都怕算少一个点
动点问题,作为中考数学压轴题的一个热点,年年考,年年都有很多学生不会写!而动点问题又会分许多的题型,动点产生的面积问题、最值问题、全等三角形问题、相似三角形问题等!
这里,精选两道二次函数中因动点产生的直角三角形问题,供需要的学生朋友参考学习。
顺便锻炼一下举一反三的能力,不然很难在中考之前将这众多的题型一一掌握。
例题1、如图1,抛物线y=ax+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(﹣1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,与抛物线交于另一点F.点P在直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t
(1)求抛物线的解析式;
泰国剧 (2)当t何值时,△PFE的面积最大?并求最大值的立方根;
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
【考点】二次函数的应用,二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】
(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标,由抛物线的对称性可求得E点坐标,从而可求得直线EF的解析式,作PH⊥x轴,交直线l于点M,作FN⊥PH,则可用t表示出PM的长,从而可表示出△PEF的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,再求其最大值的立方根即可;(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况,当∠PAE=90°时,作PG⊥y轴,利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;当∠APE=90°时,作PK⊥x轴,AQ⊥PK,则可证得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值.
参考答案
例题2、如图,已知二次函数y= 4/9 x﹣4的图像与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,⊙C的半径为√5 ,P为⊙C上一动点.
(1)点B,C的坐标分别为B(________),C(________);
(2)是否存在点P,使得△PBC为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接PB,若E为PB的中点,连接OE,则OE的最大值=________.
【分析】
(1)在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标,令x=0可求得C点坐标;
(2)①当PB与⊙相切时,△PBC为直角三角形,如图1,连接BC,根据勾股定理得到BC=5,BP2=2 √5 ,过P2作P2E⊥x轴于E,P2F⊥y轴于F,根据相似三角形的性质得到P2F:P2E=CP2:BP2 =2,设OC=P2E=2x,CP2=OE=x,得到BE=3﹣x,CF=2x﹣4,于是得到FP2=11/5 ,EP2=22/5 ,求得P2( 11/5 ,﹣22/5 ),过P1作P1G⊥x轴于G,P1H⊥y轴于H,同理求得P1(﹣1,﹣2),
②当BC⊥PC时,△PBC为直角三角形,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;
(3)如图(3)中,联结AP,根据OB=OA,BE=EP,推出OE=0.5AP,可知AP最大时,OE的值最大。
答案
【考点分析】二次函数图像与坐标轴的交点问题,相似三角形的判定与性质,二次函数的实际应用-几何问题。
其实,关于动点产生的直角三角形问题,还可以用作图法确定存在的点有多少个,即一圆两垂线!然后利用相似三角形的性质求出点的坐标!
关于动点产生的直角三角形问题,你有什么想说的?欢迎留言讨论……
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