2003年上海高考数学真题，看似挺难，掌握方法就是送分题

　　大家好！本文和大家分享一道2003年上海高考数学真题。这道题考查的是向量的坐标表示及向量的模长、圆的方程、中点坐标、点的对称等知识点。这道题看起来挺难，但是只要掌握了方法就是一道送分题。

　　

　　先看第一小问：求向量AB的坐标。

　　我们先将向量AB的坐标设为(m,n)。由于点A是△OAB的直角顶点，所以OA⊥AB，又|AB|=2|OA|，所以根据向量的数量积和模长计算公式就可以得到4m-3n=0，√(n^2+n^2)=2√(4^2+3^2)=10。整理后得到4m-3n=0且m^2+n^2=100，解得m=6，n=8或m=-6，n=-8。

　　另外，点B的纵坐标大于零，且A(4,-3)，那么向量AB的纵坐标也应该大于零，所以m=6，n=8，这样就得到了向量AB的坐标。

　　

　　再看第二小问：求圆的方程。

　　所求圆与已知圆关于直线OB对称，那么所求圆的半径与已知圆半径相等，两圆的圆心关于直线OB对称。

　　由(1)知B的坐标为(10,5)，则直线OB的方程为y=x/2。再将已知圆配方，得到标准方程为(x-3)^2+(y+1)^2=10，即已知圆的半径为√10，圆心为(3,-1)，然后设所求圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=10。根据两圆圆心关于直线OB即y=x/2对称可以得到(b-1)/2=[(a+3)/2]/2且(b+1)/(a-3)=-2，解得a=1，b=3，从而得到所求圆的方程。

　　

　　另外，对于对称性问题还有另外一个常用解法。即我们先在所求圆上找一点M(x,y)，同时设M'(x0,y0)是点M关于直线OB的对称点，那么根据点M和M'关于直线OB对称就可以得到一个方程组，接着用x、y表示出x0、y0。根据题意可知，点M'在已知圆上，所以将x0、y0代入已知圆的方程，整理后就得到了所求圆的方程。

　　这种解法的计算量要比第一种大，所以优先考虑第一种解法。

　　

　　最后看第三小问。

　　假设存在满足条件的实数a，那么也就是说在抛物线y=ax^2-1上有关于直线OB对称的两个点。设这两个点为P(x1,y1)、P'(x2,y2)，则根据点P和P'关于OB对称以及点P、P'都在抛物线上，就可以得到一个方程组，从而整理得到x1+x2=-2/a，x1x2=(5-2a)/2a^2。也就是说x1、x2是方程x^2+2x/a+(5-2a)/2a^2=0的两个不相等的实数根，所以判别式△＞0，从而解得a＞3/2。

　　

　　这道题看似难度挺大，但是考查的都是一些比较基础的知识，掌握方法后就简单了。

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