从最新中考题看阅读理解问题新亮点新变化，提分秘籍

　　近几年全国各地的中考试题中，阅读理解题频频出现，它在试卷中一般为一道题，约占总分的4%左右．这类题目的特点是主题鲜明，内容丰富，形式多样．综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力及随机应变能力和知识迁移能力．常见考察角度主要有以下四个：

　　1. 考查解题思维过程的阅读理解题

　　言必有据是正确解决这类问题的关键，是提高数学素质的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础．这类试题就是为检测解题者理解解题过程，掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．

　　2. 考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题

　　理解基本概念不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握概念的内涵或实质，理解概念间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测解题者对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．

　　3. 考查归纳、探索规律能力的阅读理解题

　　对材料信息的加工、提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出一个人的应用数学，发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测解题者的数学化能力以及驾驭数学的创新意识和才能．

　　4. 考查掌握新知识应用能力的阅读理解题

　　（1）命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者的自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力．

　　（2）解阅读新知识，应用新知识的阅读理解题时，首先应做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错．

　　类型1：新知识应用

　　例1．（2019咸宁中考题）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

　　理解：

　　（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．

　　求证：四边形ABCD是等补四边形；

　　探究：

　　（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．

　　运用：

　　（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

　　【分析】（1）由圆内接四边形互补可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再证AD＝CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；

　　（2）过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，根据角平分线的判定可得出结论；

　　（3）连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长．

　　【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，

　　∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，

　　∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，

　　∴弧AD=弧CD，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是等补四边形；

　　（2）AD平分∠BCD，理由如下：

　　如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，

　　则∠AEB＝∠AFD＝90°，

　　∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，

　　又∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，

　　∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，

　　∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；

　　（3）如图3，连接AC，

　　∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，

　　又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，

　　∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝1/2∠EAD，

　　由（2）知，AC平分∠BCD，∴∠FCA＝1/2∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，

　　又∠AFC＝∠DFA，∴△ACF∽△DAF，∴AF/DF=CF/AF，

　　即5/DF=(DF+10)/5，∴DF＝5√2﹣5．

　　【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．

　　类型2 解题策略型

　　【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．

　　（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．

　　【点评】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键．

　　例3. （2019山西中考题）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

　　莱昂哈德欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI^2＝R^2﹣2Rr．

　　如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．

　　下面是该定理的证明过程（部分）：

　　延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．

　　∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．

　　∴△MDI∽△ANI．∴IM/IA=ID/IN，∴IAID＝IMIN，①

　　如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．

　　∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．

　　∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，

　　∴∠DBE＝∠IFA．

　　∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），

　　∴△AIF∽△EDB，

　　∴IA/DE=IF/BD．

　　∴IABD＝DEIF②

　　任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝_____（用含R，d的代数式表示）；

　　（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．

　　（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

　　（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为　_____　cm．

　　【分析】（1）直接观察可得；

　　（2）BD＝ID，只要证明∠BID＝∠DBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证；

　　（3）应用（1）（2）结论即可；

　　（4）直接代入计算．

　　【解答】（1）∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON

　　∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d,故答案为：R﹣d；

　　（2）BD＝ID

　　理由如下：如图3，过点I作⊙O直径MN，连接AI交⊙O于D，连接MD，BI，BD，

　　∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI,

　　∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI

　　∴∠BID＝∠DBI,∴BD＝ID.

　　（3）由（2）知：BD＝ID, ∴IAID＝DEIF,

　　∵DEIF＝IMIN,∴2Rr＝（R+d）（R﹣d）

　　【点评】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等．

　　类型3 归纳、探索规律

　　例4. （2019舟山中考题）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

　　（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝a，AD＝h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．

　　（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？

　　如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．

　　（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

　　（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM＝90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．

　　请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

　　【分析】（1）理由相似三角形的性质构建方程即可解决问题；

　　（2）根据题意画出图形即可；

　　（3）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN＝PN即可；

　　（4）过点N作ND⊥ME于点D，由等腰三角形的性质可得∠NEM＝∠MNE，ED＝DM，由“AAS”可证△QEM≌△MDN，可得EQ＝DM＝ EM，通过证明△BEQ∽△BME，可得BM＝2BE，BE＝2BQ，即可求BN的长．

　　【解答】（1）解：如图1中，

　　∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

　　∴PN/BC=AE/AD，即PN/a=(h-PN)/h，

　　解得PN＝ah/(a+h).

　　（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求．

　　（3）证明：如图2中，

　　由画图可知：∠QMN＝∠PQM＝∠NPQ＝∠BM′N′＝90°，

　　∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，

　　（4）如图，过点N作ND⊥ME于点D

　　∵MN＝EN，ND⊥ME，

　　∴∠NEM＝∠MNE，ED＝DM

　　∵∠BMN＝∠QEM＝90°

　　∴∠EQM+∠EMQ＝90°，∠EMQ+∠EMN＝90°

　　∴∠EMN＝∠EQM，且MN＝QN，∠QEM＝∠NDM＝90°

　　∴△QEM≌△MDN（AAS）

　　∴EQ＝DM＝1/2EM，

　　∵∠BMN＝∠QEM＝90°

　　∴∠BEQ+∠NEM＝90°，∠BME+∠NME＝90°

　　∴∠BEQ＝∠BME，且∠MBE＝∠MBE

　　【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

　　例5．（2019威海中考题）（1）方法选择

　　如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．

　　小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…

　　小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…

　　请你选择一种方法证明．

　　（2）类比探究

　　【探究1】

　　如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．

　　【探究2】

　　如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．

　　（3）拓展猜想

　　如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．

　　【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

　　【解答】（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，

　　如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，

　　∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，

　　∵∠ABM＝∠ACD，

　　∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，

　　∴BD＝BM+DM＝CD+AD；

　　（2）类比探究：如图②，

　　∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，

　　∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

　　过A作AM⊥AD交BD于M，

　　∵∠ADB＝∠ACB＝45°，

　　∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，

　　∴DM＝√2AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，

　　∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，

　　∴BD＝BM+DM＝CD+√2AD；

　　【探究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，

　　∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，

　　过A作AM⊥AD交BD于M，

　　∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，

　　∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，

　　∴△ABM∽△ACD，∴BM/CD=AB/AC=√3，∴BM＝√3CD，

　　∴BD＝BM+DM＝√3CD+2AD；

　　故答案为：BD＝√3CD+2AD；

　　【方法总结】阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作出回答．阅读理解型问题的主要类型有：（1）阅读特殊范例，推出一般结论；（2）阅读解题过程，总结解题思路和方法；（3）阅读新知识、研究新应用．

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