2016年江苏高考数学真题，很多学生不会做，2种方法轻松搞定

　　大家好！本文和大家分享一道2016年江苏高考数学真题。这道题是当年数学试卷的倒数第二道填空题，考查的是平面向量的数量积。题目的难度不算大，但是还是有不少学生不会做，本文就和大家分享2种解法供大家参考。

　　求平面向量的数量积，高中阶段常用的方法有四种，分别是定义法、基底法、坐标法和极化恒等式。

　　定义法需要知道两向量的模及夹角，然后利用定义求数量积。坐标法需要能够求出向量的坐标表示，再利用数量积的坐标表示即两向量对应坐标之积再求和。本题很难用定义法和坐标法计算，所以我们可以用基底法和极化恒等式求解。

　　我们知道，平面内任意两不共线向量就可以作为一组基底，而平面内的任意向量都可以用这组基底表示出来。因此，在求向量数量积时，我们可以先选择一组基底，然后将所求向量用这组基底表示出来，最后就转化成这组基底之间的运算了。

　　用基底法求向量数量积，基底的选择非常关键，直接关系到计算的难易程度。在本题中，由于D是BC的中点，E、F是AD的三等分点，所以我们可以选择DB向量和DF向量作为基底。选择这两个向量作为基底，其他向量都可以轻松用这两个向量表示出来。接着，根据题干中已知的向量的数量积，就可以得到关于这组基底的一个方程组，解出方程组就可以得到基底向量的模，然后再代入所求向量数量积中即可。

　　极化恒等式简单的推导过程见下图。极化恒等式用来求共起点的两向量的数量积非常方便，即共起点的两向量的数量积等于这两向量所构成的三角形第三边中线的平方与第三边的一半的平方之差。用极化恒等式的解题，大部分情况下第三边都是定值，所以解题的关键就是找出第三边的长度。

　　极化恒等式的好处就是将向量的计算变成了简单的代数运算。

　　回到题目，本题求的是CE向量和BE向量的数量积，实际上也就是EC向量与EB向量的数量积，而EC向量和EB向量共起点，所以可以考虑用极化恒等式求解，即等于ED^2-BD^2。同理，题干中告诉的两组向量的数量积也可以转化成共起点的两向量的数量积，然后用极化恒等式来计算。从而得到AD^2=BD^2=4，FD^2-BD^2=-1。

　　由于E、F为AD的三等分点，所以AD=3FD、ED=2FD，代入后得到9FD^2-BD^2=4、FD^2-BD^2=-1。从而解出FD^2=5/8、BD^2=13/8。再代入所求向量数量积中即可得到答案。

　　平面向量数量积是平面向量的重要知识点，高考的难度一般不大，这就要求高中生牢固掌握，争取做到考试不丢分。

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