一道中考题诠释了一种经典的构图思路

　　从难易度上来说，初二数学是一个痕迹分明的转折点，因为有了几何“隆重”地正式参与，有难度突然加大的感觉，而其中的运用辅助线构图，则一直以来都是中考的热点，当然也是难点之一，破解之道方法众多，随机性很大，仅仅把它牵强地归为几大类别，则显得过于笼统死板，有入窠臼之嫌。要想完美地擎起这中学数学的“半边天”，笔者以为基础的牢固虽然重要，但灵活地运用基础知识，让思维的灵动性充分有效地发挥到极致更重要。

　　今天，笔者选取一道曾经的中考题，在解析过程中诠释一下众多构图思路中的一种——利用特殊三角形的性质构造全等三角形，虽然是简单的老套路没有什么新意，但也算是于茫茫题海中拾贝分享给大家。

　　〔题目〕如上图，△ABC是等腰三角形，底边BC，∠A=60°，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE。

　　(1)求证:EB=AD。

　　(2)假若点D在线段AB的延长线上，其它条件不变，EB=AD这一结论是否成立？说明理由。

　　〔第一问分析〕第一问比较简单，只需把思考重点放在特殊三角形的性质上。根据题意可知，等腰三角形ABC顶角为60°，则这个三角形为等边三角形，三个内角均为60°。故可利用这一条件在△ABC内构造出一个与△EBD全等的三角形，并兼顾线段AD与这个新构造的三角形的一边等长，即可顺利证出上述结论。

　　〔第一问证明思路简述〕在△ABC内用辅助线作DF平行于BC交AC于点F，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC为60°，又因为两直线平行同位角相等，所以∠ADF也为60°，进而得出△ADF也是等边三角形。这样AD=DF，有效地把求证结论转换为EB=DF，接下来只需证明△EBD全等于△DFC即可。

　　因为两直线平行内错角相等，所以∠1=∠2(如上图所示)，又因为条件中有∠DEC=∠DCE，所以可代换为∠1=∠DEC；已知∠ABC=60°，而∠EBD与之互补，故∠EBD=120°，同理∠AFD=60°，∠DFC与之互补，故∠DFC=120°，由此得出∠EBD=∠DFC；又从已知条件中可知△EDC是等腰三角形，即DE=CD。

　　通过上述的一番证明后，可根据“角角边”得出:△EBD全等于△DFC，故结论得到证明。

　　〔第二问分析〕观察上图，第二问仍然利用特殊三角形的性质构造一个与△DEB全等的三角形，并兼顾线段AD与这个新构造出的三角形的一边等长。

　　〔第二问证明思路简述〕在△ABC外用辅助线作BC的平行线DF，与AC的延长线相交于点F，因为两直线平行同位角相等，所以△ADF为等边三角形，即AD=DF，由此将所求证结论转换为EB=DF。接下来只需证明△DEB全等于△CDF即可。

　　因为∠DBE与∠ABC是对顶角，所以两角相等，都为60°，又因为∠CFD也是60°，所以∠DBE=∠CFD；因为两直线平行内错角相等，所以∠CDF=DCE，又因为条件中有∠DEC=∠DCE，所以∠DEB=∠CDF；再根据“等角对等边”可知ED=DC。

　　至此全等三角形的判定条件均已证出，根据“角角边”得出△DEB全等于△CDF，故结论成立。

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