高中数学《集合》大全，从入门到精通，基础第三期，交集和补集

　　大家好，集合是高中大一文理分科的重要内容，也是之后复杂大体的基础，经常作为其他大题题目的一部分出现，是比较重要的内容。本期，我们讲解集合之间的关系，首先我们要讲的就是交集和补集。

　　

　　同学们好，本期我们讲解的是集合之间的关系，首先我们先讲解子集与真子集。我们先来看子集。子集它代表的是，如果我们A中的任意一个元素都是B中的元素，我们就称之为A是B的子集。比如说我可以举个例子，如果我们的集合A，它是等于12，而我们的集合B，它是等于1235，我们可以发现集合A中的所有元素集合B都有，我们就称之为A是B的子集。那么A是B的子集，我们会用一个属于符号表示，那么它就称之为叫做A是B的子集。

　　

　　这两个一个是文字表述，一个是符号表述。A是B的子集，这点一定要注意，就是说A中的元素B全有，我们就称之为A是B的子集。我们当然可以用图像来表示这两者的关系，可以更加的直观。如果我们的集合A他是由12这两个数所构成，那么画的这个圈就代表是一个集合，那集合B我们可以发现应该是这样的，这个是集合A，这个是集合B，集合B它是除了集合A的一二以外，他还多了一个三五，我们是不是可以明显的发现，集合A要比结合B范围要小一些，我们就称之为集合A是集合B的子集，那么我们用的是这个符号，请注意，一个元素属于集合的时候，我们用的是这个鸡爪符号，它代表的是元素，属于集合。

　　

　　集合属于集合，用的是这个符号，请一定要注意，有的时候我们将这个符号会写成这样，那么这两种是相同的，希望大家一定要注意这一点。

　　这个时候就我们为什么要讲子集，因为子集给了我们一个集合相等的证明方法。那这时候我们可以举个例子，若A是属于B的，意味着我们集合A的元素B全有。那这个时候我们还有如果并且我们的集合B，我们这个是在且且我们的集合B，它还是属于集合A的，他们互相属于，那我们这个时候就则有集合A和集合B是相等的。

　　

　　那比如说我们还是来看，比如说集合A是13，集合B呢？我们的集合A是等于13，集合B它也是等于13，那么A中的所有元素B是不是全有，然后B中的所有元素A也全有，那我们就可以称之为他们互相都是对方的子集，那么这两个集合是相等的，这是我们高中范围内证明集合相等的方法。

　　

　　当然还有另外一种，就是将所有的元素都得出来，这也可以证明相等。我们知道了子集我们在说他的一个特殊形态，就是我们的真子集。我们说过子集，就是说一个元素的所有，一个集合的所有元素，另外一个集合全有，但是我们发现当两个结合相同的时候，也就是两个集合相等的时候，他们也是互为子集，这样让我们感觉很难受，所以就出现了个真子集概念。

　　我们首先A是B的子集，并且我们存在。X是属于B的，并且我们的X它是不属于A的，，我们就称之为A是B的真子集。这一句话好像大家听的有点懵，没有关系，我们只要将这个用一个例子来表示出来，就不是那么难。因为我们要知道真子集的符号记作A，他是真属于我们的B的，或者说是A是真包含于我们的B的，我们可以发现它与我们的属于符号相比，底下这个地方变成一个不等于吧，其实很好理解，我们首先因为不等于意味着A和B是不可能相等的，然后A又是B的子集，那是不是意味着我们的A一定要比B小。

　　真子集的意思是说，我们A不仅是B的子集，并且我们B中一定含有A没有的元素，我们就称之为A是B的真子集，我们可以发现真子集的性质更加的强。

　　

　　那么接着我们知道真子集后，我们再来讲。一个特殊的集合叫做空集。空集，那么这个空集，空集顾名思义就是什么东西都没有，我们空集这样写的话感觉没有意义，所以我们空集符号一个特殊的写法是这样写的，空即是代表什么元素都没有的集合，那么空集它是任何集合的子集。空集是任何集合的子集，因为我们我们空集的所有元素是不是集合B都有，因为空集本身就没有，他没有了，那么另外一个集合一定不会比他小，所以说空集是任何集合的子集，一定要知道这一点，因为这在高中必考。

　　

　　这个时候我们接着来看空集知道了，接下来我们来了解集合中的交并关系，交并关系是我们整个集合章节的高潮，那么它是我们最重要最重要的一个部分。

　　我们来先来讲讲，第一个叫做我们的交集，也就是说交并，交并关系，第一个叫交集，那么第二个叫做并集，我们其实可以通过他们的名字就可以感受出来这两者有什么用？交，它代表是相交的意思。我们交集符号我先为大家写出来是这样的∩，所以交集符号代表是两个集合相交的部分。并集符号我们是写成这样∪，我们可以将它理解为叫做或，就是将两个集合合在一起构成的所有部分，我们将它称之为并集。

　　我们来看交集的例子。我们的我们现在给出两个集合，比如说给出一个集合A，它是等于123的。然后我们再给出一个集合B，我们是用枚举法写出来，或者说列举法，345，它们的交集就是说他们所共有的元素所构成的集合A，他们共有的元素是不是只有一个三，所以我们A和B的交集是只有一节的，就是等于三。千万要打上集合符号，不然就是一个元素了，而不是集合。那么A与B的并集呢？并集就是他们所有的元素所共同构成的集合，那他们共同构成的结构我们可以发现有123，因为我们集合要满足互异性，所以说接着再写四五就可以了。那么A与B的并集就是等于12345，我们可以从图中表示，更加的直观。

　　

　　这个是我们的集合A，这个是我们的集合B，集合A他所有的元素是有123，大家发现我把这个三写在中间了，为什么？因为3，B也有吗？我们B的元素是不是345呀？那可以发现，交集所表示的就是他们共有的这一部分，就是我们的三。那并集呢，就是我们所有的部分所构成的新的结合，就12345，是不是看图可以非常的清晰。

　　我们知道了交变关系和我们再举一个例子，因为这一点实在是太重要的。交集与并集我们写出两个，用描述法写两个集合，比如说集合A，它是由X，这个X所构成的集合X需要满足的条件它是大于一，小于等于三。那我们的集合B呢？我们同样可以用描述法写出来，它所表示的是大于二小于四。

　　那我们表示两个区间，大家记得我们最简单的表示方法应该是区间法，所以我在底下这种区间法也帮大家复习一下，一到三的区间是不是从一到三，由于一取不到，所以是开区间，三可以取到是闭区间吧。那这个二到四呢，同理集合B是不是还可以写成是从二到四，由于两边都取不到，就写开区间吧。

　　那么此类题我建议大家使用数轴法，我们只要用区间与数轴基本上离不开关系，因为涉及到区间的数轴非常的直观。我们的集合A，它是一到三，如果这里是一，这里是三，请注意，我画的是空心圈，我们三这里应该是实心圈，因为一是不能取到的，三是可以取到的，对吗？那我们的集合A表示的就是这一部分区域。我们将结合A写出来，那集合B呢。我们同样可以在右边图中画出来，首先我们的集合B表示是二到四，全是空心圈，因为两边都取不到，我们将它表示出来了，集合B表示的是这一部分，那我们是不是写交集并集，可以从图中很快的看出来。

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