高中数学从基础到提升，集合篇，集合的三种表述方式

　　大家好，这是集合专栏的第二期，主要讲述集合的三种表达方式。讲述的是高中数学关于集合的全部知识，从入门到精通。一个专栏全部搞定。

　　第一点叫做列举法。列举法是最好想的，我们直接把它枚举出来，或者叫做枚举法。比如说我们由1345所构成的，这就是我们列举法出来的这四个元素所构成的集合。那有的人说只能用数字吗，我们还可以用点所构成的集合，比如说若干个点，动漫第一个点的坐标是一二，第二个点的坐标是三四，那我们由这两个点是不是也可以构成一个集合？所以说这是由点构成的集合。那比如说我们由人所构成的集合，或者说由姓名，比如说张三作为一个集合，然后李四作为一个集合，当然也可以。那当然我们公司还可以写国家来构成集合，比如说中国和美国是不是也可以构成一个集合？

　　

　　那么这个时候大家应该已经发现了我们的列举法，就是说将每一个元素都列举出来，那么这是我们最好想，也是最容易理解的方法。

　　但是往往我们有的时候想表示集合，列举法列举不出来，比如说我举个例子，我们想说一下X<五。这个方程的解，应该说这个不等式的解，所有的解集，所有的解所构成的解集，那他怎么表示呢？我们不可能把所有的小于五的数全部写出来吧，因为那有无穷个，那么这个时候就涉及到第二个方法，叫做描述法。

　　

　　那么描述法它的特色就是我们把同集合中元素所共同具有的共同特征来进行描述，我们将它们的共同特征来描述出来，那么我们是不是就可以得到一个集合？那比如说我们现在得到的这个集合，他全部都得满足X<五，那我们表达，我们可以比如说这个集合叫做A，我们集合A它可以写成，首先打上集合符号，然后接着打一个竖杠，那么请注意，这个竖杠的左边是我们集合的对象，应该说是我们的元素，也就是我们的研究对象吧。那么集合的右边是对我们研究对象进行了描述，或者说是我们的元素应当满足的性质，那比如说我们这个X<五的，我们想有所有的X所构成的集合，左边放的是我们的元素，右边是我们元素所满足的条件，他是不是需要满足是X<五，那我们是不是就可以很快写出来，我们通过这个写出来集合A，他表示的就是小于五的所有的X所构成的集合，那么这个时候当然我们最好还可以写个X属于实数，因为防止什么虚数。

　　我们这个属于实数能不能写在前面呢？那么这个时候我告诉大家，它与我们的X属于实数X小于五这两者是一样的，有的时候区分没有那么严谨，所以希望大家一定要知道这一点。那么但是这个X小于五，请尽量一定要写在右边，因为右边是对我们元素所共有性质进行的描述。

　　

　　我们现在只是说了一个不等式而已，那能不能是等式呢？比如说我们现在给一个集合B，那么这个集合B，我们想得到这个集合B中的所有元素都是这个方程的解。当然这个方程的解我们是可以解出来的，我们可以用列举法写出来，但是我们不想用列举法，我们用描述法，描述法就很好写。

　　首先左边是我们的元素，，我们一定要将我们的元素放在左边，右边是对元素进行的描述。那我们元素需要满足什么条件，是不是需要满足X的平方加5X加四等于0，那我们是不是就可以直接写出来了？那这个意思是代表的是满足这个方程的X，所构成的集合。那满足这个方程的X有哪一些呢？我们可以解出来的吧，我们来看看他的两个解。那么大家不妨算一下，利用十字相乘法可以得出来它的两个根分别是负一和负四。这两个根出来了，我们是不是可以用列举法，也可以说出来他的这个这个集合B，也就是说他的解锁构成的集合是不应该是负一和负四，这两者是完全相同的，左边是描述法，右边是列举法，这两者没有任何区别，一定要注意。

　　

　　那么第三点，那么也就是我们最后学，但是也是最重要的一种，因为我们一般来说都是用最后一种表示叫做区间法。区间法为什么我们常用它来表示，因为它简单，那我们来看刚才这个，我们想表示这个总觉得有点复杂。

　　首先区间法要进行画图，我比如说我们还是上面的集合来表示。我们来画出一个数轴，这个地方是X小于五所构成的区间是哪一块呢？是不是应该是我们数值的左半部分？这一半部分是不是就应该是我们的小于五的部分？我写一个零，帮大家辅助理解一下零在这里，这是我们的数轴。X小于五就是这一部分，那么请注意，这个地方是小于没有等号，那么所以说我们用区间法，或者说我们画出它，在数轴上画出这个区间的时候，这里要打上空心符号，空心符号代表的是5取不到取不到意味着那我们小于五的所表示的集合应该是这一块区域。

　　

　　那这块区域我们可以发现，从图中看出来，他是从负无穷到我们的多少，是不是5？这个负无穷，就是小于五的所有数的最小，最小的那个数，叫做负无穷，最右边最大的那个数是五，我们中间用逗号隔开，代表的是从负无穷到五中的所有数负无穷是不可能取到的，所以负无穷这边是开区间，这个时候我又得说一个，这个符号叫做开区间。开区间意味着取不到，请注意，负无穷永远都是取不到的，所以一定要是开区间，那么相对应的就是闭区间，那这个小于五呢？我们是不是这个方式也是不能等于五，不能等于五，那这里也是开区间吧。所以说我们这个符号从负无穷到正五，它表示的是什么呢？就是这一串集合，那么这串集合就是等于他的，所以说用区间法是不是最快的，那么这个结合他其实就是等于从负无穷到五，是用区间法非常的快。

　　

　　那我接着再来讲，如果我们想表示从大于一小于等于三。我们想表述这个集合怎么办？他又有小于，又有等于，没有关系，我们先画出数轴。那么他是不是从一到三这一块，大家可以发现，那么大家如果机智的话已经发现了，我一这里打的是空心圈，三这里放的是实心圈，因为三可以取到，一不能取到吧。那我们表示的几何是不是他们中间的这一部分，就是这一部分吧。那由一到三中间的表示集合是这一部分，那怎么表示呢？一样的，我们先把两边写出来，一边是1，一边是3写出来吧，接着写括号。这个1不可以取到，所以说我们要打上开区间符号，那么三这里是可以取到的，我们这个地方一定要打上闭区间符号，这个符号叫做闭区间。闭区间意味着这个三是可以取到的，开区间意味着一是不能取到的，那我们用区间法表示他是不是非常的容易？

　　另一方面我们可不可以用描述法表示出来这个区域？当然可以，我们可以写一下，就是大于一，小于等于三的X所构成的集合吧，这两者是没有区别的，但是明显后者更加简单，所以我们高中范围内一般集合表示都是用区间法。

　　

　　那么就此我们将集合的基本概念已经快讲完了，剩余的只是我们集合之间的运算，那么会在下一节课为大家进行讲出

　　好的，我们继续来复习一下。

　　首先讲了我们的集合。集合是由元素所构成，那么集合满足三大特性，确定性，互异性，无序性，并且集合常用表示方法，元素常用表示方法，集合与元素之间的属于关系，常用集合。

　　然后我们最重要的讲了三种集合的表示方法，分别是列举法，那么列举法一般用的不太多，因为一般不会让我们就几个，让我们列完，接着是描述法，请记住描述法的左边是元素，右边是我们元素所应该满足的共同特征。

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