格拉斯曼代数

　　本文是对格拉斯曼代数的初步介绍。笔者的参考教材是梅向明等编著、高等教育出版社出版的的《微分几何（第四版）》。这本书把格拉斯曼代数作为由 维实向量空间 得到的 维向量空间，但是笔者认为其引入方法在逻辑上有些混乱。本文将按照处理向量空间的严格方法对其进行介绍。

　　##全文无图警告##全文无图警告##全文无图警告##全文无图警告##全文无图警告设 是实数域 上的 维向量空间。对其中的基底 引进叫做“外乘”的运算“ ”，可以得到一些形式上的元素，比如对 和 作外乘得到 。

　　 本身的 个基底， 中的 （也就是 的基底）连同由外乘运算得到的元素，即

　　

　　在它们的基础上再引入形式上直接进行的加法和标量乘法，并且规定其满足交换性、结合性和分配性质。比如 与 作标量乘法就是 ， 与 作加法就是 ，还有 等成立。定义加法和标量乘法之后，就可以写出这些元素的线性组合了。所有这些外乘的线性组合连同 的线性组合（也就是实数）构成的集合记作 ，立马可以证明， 是线性空间，其中的加法单位元是所有系数都为零时得到的元素。

　　再作出以下规定：

　　

　　这样，先前有些重复的情况可以大大化简。比如 、 还有 ，它们之间只差一个系数，可以只保留 ，另外两个可以由其通过标量乘法得到。于是对于 个基底作外乘的结果，可以限定元素的顺序为 ，于是在 维向量空间中能组出来的结果共有 个。对 进行求和， 从1到 ，再加上 中的基底 ，一共有 个元素。容易证明，这 个元素是线性无关的，于是 的维数是 。

　　下面通过举例的方式简单说明一下不同的外乘是线性无关的。设 （注意此式右边的0代表线性空间 中的加法单位元，并不是数0）把上式乘以 ，利用性质容易证明相同基底出现在外乘时这一项直接为零，所以第二项消失，只剩第一项，于是 ，同理可证 。按照线性相关的定义可得到结论。在 中，以 个元素

　　

　　为基底的实向量空间记为 ，它是 的子空间，它的元素称为 的 次齐次元素。

　　为了统一表示的方便起见，把 写成 ，把 写成 ，于是 中任意一个元素 可以唯一表示成

　　

　　其中 。这说明 是各个子空间 的直和：

　　

　　注意 是 维的， 是 维的。因为任意相同维数的线性空间同构，由此还可以得到 与 同构。这个同构的关系可以通过如下方式简单构造出来： 中的任意元素可以表示成 这样的元素一一对应于实数，这个对应关系就建立了 与 之间一个简单的同构。

　　在之前对外乘的规定上再添加，使其满足结合律与分配律，即对于 ，有

　　

　　这样， 就可称为实向量空间 上的格拉斯曼代数。

　　对于 ，有

　　

　　（注意这里的0是 中的加法单位元。）

　　设 ，则

　　

　　这里的重复指标代表求和。

　　对步骤中的一些操作需要解释一下。因为 和 被完全求和掉了，是“哑指标”，所以给它们另起名字（比如把 改成 ）并不影响结果，从第二行到第三行时，把它们的名字互换（特殊的另起名字的方式）仍然是原式。下一步把作外乘的两个基底交换了一下，根据性质前面出现负号。对照第二行和第四行，可以得到式子的值为零，证毕。

　　还要注意，这里只是证明了 中相同元素的外乘为零，并没有证明 中任意元素都是这样。

　　格拉斯曼代数满足反交换律，即对于 ， ，有

　　

　　证明略。由分配律，只需考虑

　　

　　的情形。只是要注意， 和 的运算仍然是在整个 中进行的。