未使用全国卷之前的四川卷数学有多难?看看2012年高考题你就明白
自从今年高考四川井喷式地产生182名700分及以上的高分考生,在外人的眼中似乎觉得是因为全国卷III太简单了,如果让我去考,也能700分。可事实是这样吗?
在2017年之前,四川高考数学仍然采用自主命题的形式,题目难度居高不下,试卷普遍难度较高。那么究竟难到什么程度呢?俗话说,百闻不如一见。接下来就和豆豆老师一起来看下2012年四川卷高考数学大题部分。
17题,主要考察概率、分布列、期望的相关知识,作为大题第一题,难度一般。只要按照日常的练习进行解答即可。这儿不做过多赘述。
18题,考察三角函数的相关知识。这儿需要我们熟悉二倍角公式,然后将表达式化简、变形,最终得到一个新的三角函数。在求解周期过程中得利用好三角形的基础知识。首先三角函数的振幅相当于题中三角形的高,由于该三角形是正三角形,那么我们就能求出底边,也就是半周期,从而周期就能求出来了。然后知道振幅,值域范围也就出来了。而第二问的一个细节在于求解cos(π/4.x0+π/3),这儿就涉及到正负的问题,所以需要先求出π/4.x0+π/3的范围。最后再表示f(x0+1)时,得巧妙地将π/4.x0+π/3组合在一起,这样都是我们已知的三角函数值,那儿最后求解就很容易了。
19题,考察立体几何的相关知识。针对这种相对而言还比较正规的图形,我们可以采取建立空间直角坐标系的方法求解,也可以采取添加辅助线寻找相应角来求解。前者思路清晰,但步骤较多,过程相对复杂;而后者过程相对简单,但是一般不容易想到。对于基础相对比较薄弱的学子,我个人建议能建系就建系,因为这会节约你大量的思考时间,只要选对坐标原点和坐标轴就行了。而对于基础较好的学子,则可以尝试添加辅助线的形式构造角求解。毕竟这种方法只要有思路就能快速求出答案,为冲击后面大题多争取一些时间。
第20题,数列知识的考察。一般情况下数列第一问都能够得分。要求a1、a2那么我们就n=1,n=2代入得到不同的表达式,然后作差得到进一步的关系。这儿有一个容易被大家忽略的细节,那就是针对a2是否等于0进行讨论。最终将不同情况下的a1,a2取值汇总便是最终答案。
第二问的关键点就在于求解an了,求解an时我们需要利用到递推的方法,同时结合an=Sn-Sn-1,这样就能得出an与an-1之间的关系,然后写出an的表达式。在知道an之后,下一步便是将题干中的表达式给表示出来,对于题干中的表达式,我们可以令其等于bn,在表示bn时,就需要大家回忆对数换底公式的知识点,最后观察发现bn其实是一个等差数列,而且公差小于0,。那么要求前n项和的最大值,就得找出第一个小于0的项,从而在这之前的所有项之和便是前n项和的最大值了。这道题的难点在于,部分学子根据bn的表达式未能判断出其是一个等差数列,结果导致后面计算无法进行下去。
第21题,考察圆锥曲线的知识。圆锥曲线这类型的大题在我印象中始终是计算量最大的一种题型。它的思路有时反而比较简单,但是它的计算量让不少学子望而却步。
第1问要求C的方程,由于题中就只告诉了一个等式,那么我们就得从这个等式下手。如何将角与x、y扯上关系?这时我们想到了正切,那么既然要用正切,就得保证这个角度不等于90°,不然没有意义,所以需要先对90°角进行讨论。最后针对非90°的角,利用正切的二倍角公式进行变形,最终便能得出轨迹方程了。这儿有一个细节需要注意,因为我们之前将90°角当做特殊角进行讨论,此时还应该将特殊值带入轨迹方程中验证是否满足条件,如果满足就结合在一起表示,如果不满足则应该分开表示。
第2问要求PR与PQ的比值。画出示意图之后,我们可以发现根据三角形的相似,他们的长度之比实际上就是他们的横坐标之比。而寻找他们的横坐标就得将直线方程与圆锥曲线方程联立化简。此时我们会得到与m有关的表达式,那么我们肯定得求出m的取值范围,所以这儿针对对称轴的位置、判别式、特殊位置处函数值的大小构建不等式组,最终求出m的取值范围。到此这道题的思路就通了。不过在求解中还有一个难点就是将PR/PQ的表达式化简并判断范围,这是一个很容易丢分的点,大家要多留意。
第22题,函数知识的考察。一般压轴题的第一问我们都能够得分,所以在考试时,大家怎么也得把第一问看一下,能做就做。千万别因为时间安排不合理连题都没看,那就太可惜了。
这道题的第一问,要得分也不容易,因为它转了几个弯,首先得找出点的坐标,然后求导找出该点的切线斜率,然后求出切线方程,再然后才能找出在y轴上的截距,算是一波三折。
第二问,这一问不容易。因为我们a的值不确定,从而导致我们不得不进行一些尝试才能确定a的值。而每一次尝试都不一定非要体现在试卷上,毕竟篇幅有限,所以我们可以先在草稿本上推测下a的取值。a的取值与n直接相关,所以可以给n赋值,但这道题还比较良心,当你带n=2时,这时会得到一个a的范围,将最小的a带入验证,最终得出结论。这一问的另一个难点在于多次利用缩放,比如根据二项式定理展开式进行了第一次缩放,然后针对得出的表达式又进行了第二次缩放,最终得出结论。
第3问也不简单,而且还很巧。这道题正面求解不好做,我们需要反向推理然后找出思路。我们可以将题干中的表达式表示出来,第一个表达式的通项很明显,而第二个表达式,通过仔细观察会发现它实际上是一个以a为首项,a为公比的等比数列的求和公式。那么至此就简单了,我们只需要将两个表达式的通项进行比较判断出大小即可。然后他们的n项和的大小关系也就出来了。在比较通项大小时,可以采取作差的方式构建函数,然后求导判断出单调性,再得出取值范围,从而判断前者大于后者或是小于后者。
总的来说, 2012年四川卷高考数学难度不小。除了计算量较大之外,不少大题的解题思路都比较新颖。通过这套题,希望大家能有所收获。比如逆向思维,根据结论反推我们该求什么?然后再去思考怎么求。
学习永不止步,大家一起加油!
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