初中数学——一元一次方程应用之比例、分配与工程问题

　　前面我们已经讲过，一元一次方程的应用之储蓄与利润问题。一元一次方程的应用——储蓄与利润问题

　　今天，我们将讲讲一元一次方程应用之比例、分配与工程问题。

　　一、知识储备

　　1、未知数的设法：

　　直接设：把问题中所求的未知量设为未知数

　　间接设：把与所求未知量有关的特定量设为未知数，哪一种便于使用已知条件列出比较简单的方程，我们就选用那种未知数的设法

　　2、工程问题的三个量的关系：工作总量=工作时间×工作效率=1

　　工作效率=工作总量÷工作时间=1÷工作时间

　　工作时间=工作总量÷工作效率=1÷工作效率

　　注意：总的工程量看作单位"1".

　　二、问题探究

　　1、比例问题

　　例1.一根长为24cm的铁丝，围成一个长与宽的比为2：1的长方形，求长方形的面积。

　　等量关系：长方形的周长之和等于铁丝的长。

　　解：设长方形的长为2x，宽为x.则

　　2×（2x+x）=24

　　解得：x=4cm

　　例2.黑火药是由硫磺、木炭、火硝三种原料配制而成，三种原料的质量比是2：3：15.若要配制150千克的黑火药，则这三种原料各需要多少？

　　解：设三种原料中硫磺需要2x千克，木炭需要3x千克，火硝需要15x千克。则

　　2x+3x+15x=150

　　解得：x=7.5千克

　　木炭需要：3×7.5=22.5千克

　　火硝需要15×7.5=112.5千克

　　2、分配问题

　　例1.有甲、乙两队，甲队有28人，乙队有32人，从乙队调若干人到甲队，若要使甲、乙两队人数相等，求乙队调往甲队的人数。

　　解：设乙队调往甲队的人数为x人。则

　　28+x=32-x

　　解得：x=2人

　　例2.七年级的同学去植树，在甲处植树有27人，在乙处植树有19人，现在另调20人加入他们。使得在甲处植树的人数是在乙处植树的人数的2倍，求应调往甲、乙两处的人数。

　　解：设调往甲的人数为x，则调往乙处的人数为20-x。则：

　　27+x=2×(19+20-x)

　　解得：x=17人

　　调往甲的人数为17人，

　　调往乙处的人数为20-17=3人。

　　例3.一个方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可以做方桌的桌面40个或做桌腿240条，现有10立方米的木料，那么应用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿才能使桌面、桌腿正好配套？

　　解：设应用x立方米的木料制作桌面，10-x立方米的木料制作桌腿才能使桌面、桌腿正好配套,则：

　　4×40x=240(10-x)

　　解得：x=6立方米

　　制作桌面的木料为：6立方米，

　　制作桌腿的木料为：10-6=4立方米。

　　3、工程问题

　　例1.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，甲乙合作需要多少天完成？

　　分析：总的工程量看作单位"1".

　　等量关系：工作总量=工作时间×工作效率=1

　　工作效率=工作总量÷工作时间=1÷工作时间

　　工作时间=工作总量÷工作效率=1÷工作效率

　　解：设甲乙合作需要x天完成，则：

　　1=x×(1/20+1/30)

　　解得：x=12天

　　例2.一项工作，甲单独做需4天完成，乙单独做需6天完成，甲、乙合作完成后共得报酬450元，按个人完成的工作量计算报酬，则甲、乙分别应得多少元？

　　等量关系：工作总量=工作时间×工作效率=1

　　工作效率=工作总量÷工作时间=1÷工作时间

　　工作时间=工作总量÷工作效率=1÷工作效率

　　解：设甲乙合作需要x天完成，则：

　　1=x×（1/4+1/6）

　　解得：x=2.4天

　　甲完成的工作量=2.4×1/4=0.6

　　乙完成的工作量=2.4×1/6=0.4

　　甲分得的钱：0.6×450=270元

　　乙分得的钱：0.4×450=180元

　　练习

　　1.甲、乙、丙三个工人每天生产的零件个数比为3：4：5，丙生产的零件个数比甲、乙二人生产的个数和少932，那么乙每天生产多少个零件？

　　2.甲、乙、丙三人每天加工的零件数情况如下：甲、乙之比为4：3，乙、丙之比为6：5，又知甲和丙的和比乙的2倍多12件，求甲、乙、丙三人每天加工的零件数

　　3.有两个长方形，第一个长方形的长与宽和第二个长方形的长与宽的长度按顺序比为

　　8：6：4：3，已知第一个长方形的周长比第二个长方形的周长长56cm，求较大的长方形的面积。

　　4.有甲、乙两队，甲队有28人，乙队有32人，从乙队调若干人到甲队，若要使甲队的人数比乙队的4倍还多5人，求乙队调往甲队的人数。

　　5.甲、乙两个仓库共储存了45吨药品，现在要从甲仓库中调出库存药品的60%，从乙仓库中调出40%援助灾区，结果乙仓库中所余的药品比甲仓库所余药品多3吨。求甲、乙两个仓库原来所存的药品的重量。

　　6.用铝片做听装易拉饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或瓶底43个，一个瓶身配两个瓶底，现有150张铝片，用多少张铝片制作瓶身，多少张铝片制作瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶？

　　7.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，如果先由甲单独做5天，剩下的工作由甲乙合作需要多少天完成？

　　8.一项工作甲单独做20小时完成，乙单独做24小时完成，丙单独做12小时完成，甲、乙先合作10小时，丙再单独做几小时可以完成？

　　答案

　　1.解：设甲工人每天生产的零件个数为3x,乙工人每天生产的零件个数为4x，丙工人每天生产的则件个数为5x.则

　　5x+932=3x+4x

　　解得：x=466个

　　乙工人每天生产的零件个数为4×466=1864个。

　　2.分析：甲、乙之比为4：3，乙、丙之比为6：5，所以甲：乙：丙=8:6:5

　　解：设甲每天加工的零件数为8x,乙每天加工的零件数为6x，丙每天加工的零件数为5x。则

　　8x+5x=2×6x+12

　　解得：x=12件,

　　甲每天加工的零件数为8×12=96件,

　　乙每天加工的零件数为6×12=72件，

　　丙每天加工的零件数为5×12=60件。

　　3.解：设第一个长方形的长为8x,宽为6x；第二个长方形的长4x，宽为3x。则

　　2×（8x+6x）-2×(4x+3x)=56

　　解得：x=14cm

　　大的长方形的长为8×14=112cm,大的长方形的宽为6×14=84cm,

　　大的长方形的面积为：112×84=9408平方厘米

　　4.解：设乙队调往甲队的人数为x人。则

　　28+x=4×（32-x）+5

　　解得：x=21人

　　5.解：设甲仓库原来所存的药品的重量为x吨，则乙仓库原来所存的药品的重量为45-x吨。则：

　　x×(1-60%)+3=(1-40%)×(45-x)

　　解得：x=24，

　　甲仓库原来所存的药品的重量为24吨，

　　乙仓库原来所存的药品的重量为：45-24=21吨。

　　6.解：设用x张铝片制作瓶身，150-x张铝片制作瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶.则：

　　2×16x=43(150-x)

　　解得：x=86张

　　制作瓶身的铝片有：86张，

　　制作瓶底的铝片有：150-86=64张。

　　7.分析：总的工程量看作单位"1".

　　解：设剩下的工作由甲乙合作需要x天完成,则：

　　5×1/20+x×(1/20+1/30)=1

　　解得：x=9

　　8.等量关系：工作总量=工作时间×工作效率=1

　　工作效率=工作总量÷工作时间=1÷工作时间

　　工作时间=工作总量÷工作效率=1÷工作效率

　　解:设丙再单独做x小时可以完成,则：

　　10×（1/20+1/24）+x×1/12=1

　　解得：x=1小时