初中数学培优七年级下第十二讲分式方程难点是增根和漏根

栏目：教育管理时间：2023-02-03

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　　中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

　　我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。

　　本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。

　　系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

　　系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

　　二、重点难点分析

　　1. 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程，所以解分式方程的第一步就是去分母，利用等式的性质将方程两边乘以最简公分母，找最简公分母前要将能因式分解的分号因式分解。

　　2.由于解分式方程去分母时两边同乘以含未知数的整式(即最简公分母)，当这个整式不为零时，所得的整式方程与原方程同解；当所乘的整式为零时，求出的解是原方程的增根。所以解分式方程最后必须将解代入最简公分母检验，增根必定使最简公分母的值为零。

　　3.列分式方程解应用题的步骤类似于列一元一次方程解应用题。

　　4.解含字母系数的分式方程(公式变形)时，其解法、步骤与数字系数的分式方程相同,把部分字母当作常数来处理即可。

　　5.列分式方程解应用题时关键要学会用分式来表示题中的数量关系，并且结果要检验；既要检验是不是增根，又要检验是不是符合实际意义。

　　6、难点：增根通过检验是可以排除，最怕的是漏根。在实际解分式方程的过程中，由于一些运算的技巧要求，会产生新的分母，导致未知数的定义域产生变化，最后漏根。此时就需要补根。详见例7.

　　三、例题精选

　　例1 解下列分式方程

　　（1） ;

　　（2）；

　　解答：题（1）可以把方程右边的负号移入分母，变形为,因此最简公分母就是x-3，同理题（2）的公分母就是6x-2;

　　（1）方程两边同乘以x-3，则2-x=x-3+1，解得x=2；

　　经检验，x=2是原方程的根。

　　（2）方程两边同乘以6x-2则1=3x-1+4;

　　解得x=。

　　经检验，x=是原方程的根。

　　例2 如果关于x的方程无解，求m的值。

　　解析：分式方程无解有两种情况：①通分后形成的整式方程无解，即最后变形为ax=b的形式时，a=0，b≠0；②通分后形成的整式方程有解，但是这个解是增根。

　　原方程两边都乘以x-3，得

　　m+7x-21=4-x;

　　整理后得8x=25-m；③

　　不属于第一种情况；那么属于第二种情况：方程③的解是原方程的增根，

　　即x=3，代入后得m=1。

　　例3 数轴上有A、B两点，它们对应的数分别是。

　　（1）当x=1.5时，求线段AB的长。

　　（2）若点A到原点的距离比点B到原点的距离多3，求x的值。

　　解析：

　　（1）把x=1.5代入两个分式得到A、B两点的坐标，相减即可

　　A：-4，B：-1，∴AB=-1-（-4）=3；

　　（2）这个题目要进行分类讨论，A可能在原点左侧、右侧，B点也可能在原点左侧、右侧，为了简化讨论，我们采用绝对值的几何意义来辅助计算。A点坐标的绝对值即为A点到原点距离，同理B点坐标。

　　|；

　　方程两边同时乘以|x-2|,得;

　　2=|x-1|+3|x-2|;

　　零点分段法：

　　当x时，原方程化为2=x-1+3x-6,解得x=2.25

　　当1时，原方程化为：2=x-1+6-3x，解得x=1.5;

　　当x时，原方程化为：2=1-x+6-3x，解得x=1.25舍去。

　　经检验x1=2.25，x2=1.5符合题意。

　　例4某已知红、绿两个车队在距上海3000km处会合,并同时向上海进发,绿队行驶了2000km时,红队行驶了1800km.随后,红队的速度比原来提高20%,两个车队继续同时向上海进发。

　　(1)求红队提速前红、绿两个车队的速度比;

　　(2)红、绿两个车队能否同时到达上海?并说明理由;

　　(3)若红、绿两个车队不能同时到达,则哪个车以先到达上海?求第一个车队到达上海时两个车队间的距离。

　　解析：

　　(1)可根据绿队行驶2000km时,红队行驶1800km用的时间相等直接求出比例关系;

　　∵红绿两队行驶时间相等，∴红绿两队速度比=；

　　(2)设而不求的方法，设绿队的车速为v km/h，那么红队开始速度= km/h，提速后红队速度= km/h，只要判断红队行驶1200公里和绿队行驶1000公里，谁用的时间长即可。

　　T绿队=小时，T红队=绿队，因此不能同时到达上海。

　　（3）由题2可知，绿队先到。

　　此时两个车队的距离即红队离上海的距离：1200-1.08=120公里。

　　本题我没有使用分式方程的方法，因为那样做太麻烦了。解答时还要不同情况不同分析，选择最简便的方法。

　　例5 通过观察,发现不难求得方程x+=3+的解是x1=3,x2=;x+=4+

　　的解是x1=4.x2=;x+=5+解是x1=5,x2=;

　　(1)观察上述方程及其解,可猜想关于x的方程x+=a+的解是；

　　(2)试验证:x1=a-1,x2=都是方程x+=a-1+的解;

　　(3)利用你猪想的结论,解关于x的方程=a+.

　　解析：

　　(1)根据阅读材料,导找规律,即可求出方程的解;

　　X1=a,x2=.

　　(2)利用方程的解的概念进行验证,就是把解代入方程,看等式是否成立;

　　略。

　　(3)注意此方程和阅读材料中提供的方程的形式并不一样,因此,要把它化成x-1+=a-1+,再把x-1,a-1看作一个整体来解方程。

　　=x-1+-= x-1+= a+①

　　∴x-1+；

　　有材料知道(x-1)1=a-1即x1=a；（x-1）2=，即x2=.

　　①过程的变形不太直接，我们可以设y=x-1，则x=y+1代入原方程得：

　　,然后移项改造成与材料中一致的方程。

　　例6已知，；...

　　+...+=)=;

　　上述求和的想法是通过逆用分式减法法则,将和式中的各分数转化为两个数之差,使得除首末两项外的中间各项可以相互抵消,从而达到求和的目的;

　　（1）按题目中的规律，写出第六项和第n项的表达式。

　　（2）受此启发,请你解下面的方程:

　　解答：

　　（1）第6项，第n项：.

　　（2）由材料方法，原方程直接化简为

　　方程两边同时乘以6x(x+9)得，2x+18-2x=9x,解得x=2

　　经检验x=2是原方程的根。

　　例7，关于漏根的说明。

　　阅读材料，解方程x2-1=x-1.

　　方法一、方程两边同时除以x-1，得;

　　两边整理后得，x+1=1,所以x=0.

　　方法二、但是事实上，方程有两个根：0或1，

　　原方程移项后得x2-x=0;

　　X(x-1)=0;

　　∴x=0或x=1.

　　很明显，方法一漏掉了x=1这个根，那么是什么原因导致漏根的呢？

　　原因出在了方程两边同除以x-1，这个运算默认x，导致最终解丢了x=1这个根。

　　在解方程的过程中，我们为了降幂，有时候在方程两边同时除以一个因式，此时就必须判断此因式是否可能等于0.如果有值令此因式等于零，那么这个值必然是原方程的一个根，必须补回来。

　　四、练一练

　　1、5月初，持续强降雨的恶劣天气造成部分地区出现严重的洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数检好与用300元购买乙种物品的件数相同。

　　(1)甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元?

　　(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元?

　　2.甲、乙两同学玩"托球赛跑"游戏,商定：用球拍托着丘兵球从起跑线A起跑，绕过B点跑回到起跑线(如图)。途中丘兵球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜。结果：甲同学由于心急掉了球，浪费了6s，乙同学则顺利跑完。事后，甲同学说:"我俩所用的全部时间的和为50s."乙同学说:"捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍".根据图文信息，请问哪位同学获胜?

　　3. .今年参加数学竞赛的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%，设今年参加竞赛的总人数为a，其中男生人数为b，求.

　　4、甲、乙、丙三人同时由A地出发去B地。甲骑自行车到C地(C是A,B之间的某地)，然后步行；乙先步行到C地，然后骑自行车；丙一直步行。结果三人同时到达B地。已知甲步行的速度是7.5km/h；乙步行的速度是5km/h。甲、乙骑自行车的速度都是10km/h，那么丙步行的速度是多少？

　　5、一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……，第n次倒出的水量是L的.......，按照这种倒水的方法，这1L水经多少次可以倒完?.

　　6、某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)。如果两人走梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍。已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部。

　　(1)扶梯露在外面的部分有多少级?

　　(2)若扶梯旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)。求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶。

　　7、解方程：|x|=。

　　8、解方程.

　　答案:

　　1、设甲单价x元，乙单价x-10元

　　（1），解得x=70，x-10=60

　　（2）乙需要1500件，甲需要500件，总共筹款125000元。