初三数学：二次函数与最值问题的四种类型，还能愉快地玩耍吗？

　　9月还剩下几天了，眼见着十一国庆节就要到来，初三的同学们，在国庆节期间你都有哪些计划呢？

　　是出行旅游，认识这个大千世界；还是宅家煲剧，感受那些情节的曲折离奇；或者约上三五知己同学，畅谈人生与理想。

　　无论是哪一种，都希望你的假期过得有意义！

　　如果实在没想好怎么度过这个快乐的假期，不妨多刷刷数学题吧！说不定假期之后的月考还能突飞猛进，排名上升呢！

　　下面，精选几种类型的二次函数与最值问题，供需要的同学参考！

　　题型一、面积与最值问题

　　如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．

　　（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；

　　（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？

　　【分析】（1）根据等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系；

　　（2）将函数解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质求最小值．

　　题型二、面积差与最值

　　如图，正方形ABCD边长为8，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，做OP⊥OA，交直线BC于点P.

　　（1）求证：OA=OC；

　　（2）猜想△POC的形状，并说明理由；

　　（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1-S2的最值.

　　【参考答案】

　　题型三、线段最值问题

　　如图，抛物线y＝mx^2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．

　　（1）求点C坐标及抛物线的解析式．

　　（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．

　　（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．

　　【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x^2+2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，解：a＝1，即可求解；

　　（2）设点P（x，x2+2x﹣3）、点M（x，﹣x），则PH＝√2/2PM＝√2/2P﹣x﹣x^2﹣2x+3），即可求解；

　　（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°两种情况，分别求解即可．

　　题型四、线段平方和的最值问题

　　已知二次函数y=x^2-4x+3与y轴交于点C，顶点为D，

　　（1）请直接写出：C(0　，　　)，D(　　，　　)

　　（2）x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标，若P点不存在，请说明理由

　　（3）x轴上是否存在一点Q，使得QC^2+QD^2的值最小？若Q点存在，求出Q点的坐标；若Q点不存在，请说明理由．

　　【分析】（1）当x=0时，y=3，即C点坐标为(0,3)，配方，得y=(x-2)^2-1，即D点坐标为(2,-1)，即可求解；

　　（2）如图，连接CD交x轴于P点，则点P为所求，即可求解；

　　（3）设点Q(m,0)，则QC^2+QD^2=m^2+9+(m-2)^2=2m^2-4m+14，即可求解．

　　【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，本题求最小值的方法比较新颖，难度不大．

　　其实二次函数中的最值问题，大部分都能将所求的线段（线段平方，面积差等）表示成二次函数的形式，然后利用顶点式求出最大（小）值即可！

　　这种类型在初三的月考中经常出现，是月考的热门考点，尽快掌握好这几种类型，然后国庆假期愉快地玩耍吧！

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