一道曾让中国数学界绞尽脑汁都想不明白的题

　　1978年，在中国数学会普及工作委员会的组织下，举办了有北京、上海、天津、辽宁、陕西、四川、安徽、广东8省市的20多万学生参加的数学竞赛，那一年的比赛是在5月21日进行，举行了两场共5小时的考试，在当时，我们还不知道在世界上有一个叫国际数学奥林匹克的竞赛，

　　而且这项赛事还已经举办了整整20届，在那年IMO结束后，恰好我国有一个代表团访问罗马尼亚，其中一个成员出于对数学的兴趣，将试题翻译成中文，以消息的形式传回我国，在1978年8月19日，《参考消息》这一报刊发表了这些被翻译过来了试题，但是让他们以及所有人都没想到的是，里面有一道题会让全国无数的中学数学教师、大学数学教师甚至许多知名教授都为之绞尽脑汁，

　　或是因为译稿书写潦草，或是因为译者或编辑对数学符号理解失误，其中由英国为那年比赛提供的第三题，《参考消息》误将求f（240）写成求f（2ω），正是这么一个小小的错误，却使得题目难度相差万里，因为要求出函数f（n）的一般表达式，比求一个具体函数值f（240）困难大得太多了，我国数学界、数学教育界无数人因为这道题彻夜难眠，在一段时间后，经过众多专家学者的一致努力，终于想出了多种方法寻找出f（n）的表达式，但其解答过程少则几页，多则几十页，

　　正因为本题求解十分困难，因而有人猜想，这道题是不是有可能印错了，当时安徽师范大学的胡炳生教授就曾猜想，这道题可能不是要求f（n）的表达式，而是只要求出f在某一n的值，例如求f（200），他在一篇文章中曾介绍之所以会猜想是求f（200）那是因为"ω"像是"00"的草写结果，直到1979年的春天，中科大的龚升教授收到国外寄来的一份试题，经张国铮教授翻译在安徽师大《数学函授教学》刊出后，上述误传才得到澄清，但是，此题求f（n）的结果至今仍然保存在不少的书刊之中，

　　而这也成为我国当代数学史中最有趣的一段佳话.

　　

　　诞生于1959年的国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO），是世界范围内青少年最高级别的智力活动之一，是由罗马尼亚的罗曼教授等人提出的设想，第一届IMO于1959年7月在罗马尼亚举行，当时只有罗马尼亚、保加利亚、波兰、匈牙利、捷克斯洛伐克、前民主德国、前苏联七个国家参加，后来，美、英、法还有我们和其他亚洲国家开始陆续参加，直到今天，这项赛事已经近乎覆盖了全世界，

　　国际数学奥林匹克的试题涉及的数学领域包括：数论、多项式、函数方程、不等式、图论、复数、组合、几何和博弈游戏等几大板块，这亦构成了各国数学竞赛的命题方向，每届比赛由6道试题组成，每题满分7分，总分42分，团队总分252分，考试时间分两天，每天只做3个题目，总共9个小时，其中大约1/12左右的学生可获得金牌，银牌和铜牌的数量分别是金牌的2倍和3倍，

　　但是在这项已经成为影响最大、级别最高的中学生智力活动中，有一个奖项比起金牌含金量丝毫不逊色，甚至有人拿这个奖项与满分相比较，它就是极难获得的特别奖，如果某个学生对某道试题所作的解答非常漂亮，有独到之处，与事先拟定的标准解答更加精彩简洁，不论其总分多少，他都可以获得特别奖，在过去的60年里，能获得特别奖的人数甚至又少，如果说获得满分难如登天的话，那么获得特别奖就是难如逆天，

　　在1977年于南斯拉夫举办的第19届比赛里，来自英国的John Rickard选手不仅仅以40分最高分的成绩获得金牌，并且他对越南所提供的第二题以用两个互素的正整数p和q来代替题中的7与11，得出了最大项数为p+q-2，因为这一精彩无比的解法，使得他当之无愧获得了那年的特别奖.

　　

　　1983年，在法国举办的第24届比赛里，总计有32个国家，179名数学高手参与其中，但是这些高手都活在了一名叫Bernhard Leeb德国选手所制造的恐惧之中，他不仅以满分的成绩坐上了"武林盟主"的宝座，而且对美国所提供的第六题的"逆天"解法使得他还获得了特别奖，

　　他仅仅使用了一个等式就解决了当年比赛最难的第六题，他假定a是最大的边，这时（2）式右边的两项都是非负的，因而（2）式左边也是非负的，即（1）式成立，不仅如此，从（2）式还容易看出当且仅当a=b=c，即这三角形为正三角形时（1）中等号成立，

　　解法之简单，让被誉为解题大师的单墫教授在《数学竞赛史话》一书中都为之惊叹，而国内也曾有一些杂志刊登过（1）的简便证明，但很遗憾是错误的，而这也间接证明了获得特别奖的有多么困难，

　　而满分外加特别奖也让他成为了那年当之无愧的大魔王选手.

　　

　　1986年，

　　在波兰举办的第27届国际数学奥林匹克上，我们首次派出了满员的六人队伍，来自天津南开中学的李平立、河南省实验中学的方为民、上海大同中学的张浩、西安八十五中学的荆秦、湖北黄冈中学的林强、还有来自江苏泰县姜堰中学的沈建，这一年我们的表现让所有国家都为之震惊，因为在一年之前我们的总分排名倒数第六，而在这一年里我们取得了总分第四的奇迹般成绩，

　　但是这一亮眼的成绩却被来自美国的Joseph Keane选手抢了风头，他差点成功复制了三年前Bernhard Leeb选手的"逆天之路"，他与满分仅有一分之差，而他对那届比赛中最难的第三题独特解法也让其获得了全场唯一的特别奖，其无比惊艳的表现也盖过我们以及三位满分选手的风头.

　　

　　在国际数学奥林匹克的历史长河中，

　　负责命题的主试委员会从来没有办成这样一件事：编出一道题目，使得每名选手都束手无策，但是相反，有这样一道题目曾让整整49个国家领队组成的主试委员会一筹莫展，后来不得已，只能将题目送到四位顶尖的数论专家手上，但是这四名已然成为了数学家的绝世高手在花了一整天的时间仍无法解出，

　　1988年，于澳大利亚举办的第29届比赛上，由德国所提供的第六道数论题成为了当时历届比赛中得分率最低的一道题，难到什么程度？49个国家，268名来自各国的最顶尖参赛选手的平均分仅仅只有0.6分，当年刚满12岁的数学天才陶哲轩也参加了比赛，但同样也败在了这道题的手上，

　　全场仅有12个人答对，来自四川彭县中学的何宏宇和上海复旦附中的陈晞在此名单中，而来自保加利亚的Emanouil Atanassov选手不仅仅解出了这道题，并且解法之简单堪称逆天！

　　

　　2005年，

　　那一年被人称为"数学竞赛中的奇迹年"，在墨西哥举办的第46届国际数学奥林匹克上，有一个无比精彩的解法横空出世，据说当时在场的人在看到这一解法时，无一例外的都被震惊的说不出话来，有人曾这样评价它："数学竞赛有史以来最精彩的解法"，

　　那一年由韩国所提供的第三题，因为难度极高，让来自91个国家、513名选手的平均分仅仅只有0.91分，但还是有16名选手以满分的成绩傲视群雄，其中包括来自天津耀华中学的任庆春、上海华东师大二附中的刁晗生、江西师范大学附中的罗晔、上海复旦附中的邵烜程，

　　但是所有选手的亮眼表现都被来自一个人口仅有355万，过去五年团队总分平均排名仅仅为第32名的摩尔多瓦无情镇压，来自这一国家的Iurie Boreico选手仅仅只用了两行就解决了最难的第三道题，因为简单到一塌糊涂，暴力到肆意横行，因此他在间隔十年之后，获得了主试委员会再次颁出的特别奖，

　　不仅如此，他还是16名满分选手的其中之一，

　　比起1983年来自德国Bernhard Leeb选手的满分加特别奖的逆天之路，他的战绩显得更加可怕，因为在2006年，他再次参赛并且再一次获得了满分，而他也成为了国际数学奥林匹克唯一一个两届满分外加特别奖的选手.

　　

　　而在过去60年国际数学奥林匹克历史长河中，还有一道题对我们的意义如同上述的"特别奖"，那就是我国第一道被IMO选中的赛题，在1985年，由共青团宣传部、中央电视台和《青年文摘》杂志联合主办的五四青年智力竞赛上，北师大的周春荔教授为比赛出了这样一道题：地面上有A、B、C三点，一只青蛙恰位于地面上距C为0.27米的P点，青蛙第一步从P跳到关于A的对称点P1，第二步从P1跳到关于B的对称点P2，第三步从P2跳到关于C的对称点P3，第四步从P3跳到关于A的对称点P4......，按这种方式一直跳下去，若青蛙第1985步跳到点P1985，问P与P1985相距多少厘米？

　　在1986年3月，常庚哲、齐东旭两位教授在浙江大学参加"计算几何"讨论会时，晚上闲聊时谈到了这道题，下面是两位教授介绍关于这道赛题形成的经过，它的变化和推广的可能性，以及其他有关的事，通过这个介绍，我们可以看到用复数解平面几何题的优点，复数可以表示点的位置，复数的加、减法运算正好表达了平面向量的加、减法运算的规律，用复数还可以表示长度、夹角和面积，这就使得用复数解几何题成为十分自然的事，通过复数的乘法，还可以十分便利地表示向量的旋转，也是在那一年，我们第一次正式派6人参赛并取得了总分第四的成绩.