初二刷高中数学，初三学微积分，不仅自己超前还要教同学

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　　花友@可乐&小pea的儿子不仅初二开始刷高中数学，还帮同学超前学，最后更是当起了数学小老师。一路上他教了许多学生，帮他们提前学初中数学、高中数学、微积分…更总结出一套自己的数学经验。

　　本文由花友@可乐&小pea发布于小花生写作计划，以下是花友自述：

　　儿子的数学学习，一直是量变到质变的过程。之前，我曾分享过儿子学数学的经历：初三全年，孩子的主要精力都在中考备考上，但我也观察到，他已经对高中数学、大学微积分产生了兴趣，甚至每天都会找一些时间去翻翻视频，小刷点题目。

　　今年中考后的暑假里，孩子让我买手写板，说要开始教别人学数学。

　　说实话，当时我是有点小惊讶的，毕竟掌握知识和讲知识给别人听，完全不是一回事，但还是鼓励他去做这件事。没想到反馈还不错，真的有几位同学，认认真真跟着他学起了数学。

　　假期里，他还把自己的课录成视频，发到了网上。

　　开学前，娃回顾过去几年教别人学数学的经历，有感而发，写了一篇随笔。得到了他的允许，我原文分享给大家。

　　-以下是我家儿子的自述-

　　小学学奥数，我一开始是比较被动的状态，学得有点不明不白。

　　但是升入初中后，因为闲时看数学视频，逐渐培养起来了对数学的兴趣，所以在自学得比较超前了。在满足自学需求的欲望后，我渐渐产生了“让别人学会数学，学强数学”的想法。

　　初二结束，我开始教别人学高中数学

　　初二升初三的暑假，一位同学想学习高中数学，我便给她开小灶“一对一”地讲课，当时讲了集合、函数。

　　那时的我刚好在看高等数学的“多元微分”和“拉格朗日乘数法”，并且成功用“拉格朗日乘数法”解出了一些数学题。这种收获新知识的快乐和激动，让我产生了极大的分享欲，我想让其他人也学会这套解法。

　　于是后面两节课，我便从“导数”讲起，想教会这位同学怎么用“拉格朗日乘数法”解题。可惜的是，她最后只“会算”，但并不是很明白的整套解法是怎么运用的。

　　那时我才开始意识到，并不是所有人学习数学都那么轻松，也并不是所有人都适合超前学。

　　拉格朗日乘数法的应用实例，图源网络

　　初三上结束，帮新初一同学超前学

　　九年级的寒假，我给两位新初一的同学上了四天数学课。

　　这四天里，我基本把七下数学讲完了，顺便提前教了些初二、初三的数学知识点，比如一元二次方程、勾股定理、因式分解。

　　给更小年龄的同学上课，让我意识到，上课并不是一味地讲自己的理解，而是要试图跟上他们学习的步伐，找到他们能够适应的节奏上课。

　　中考后，同时在线上、线下教数学

　　中考后，我一开始并没有继续教书的想法（刚好在毕业旅游，没有这种念头）。

　　旅行中的某一天，一位幼儿园同学，也是在数学方面学的比较深的一位好友（如今就读于国际学校），发了一条“关于组建导师社”朋友圈。

　　这个导师团要招募两种人：一种是“老师”，老师要以自己的一技之长去帮助学生。一种是“学生”，学生主要负责听课、学习。

　　作为报酬，老师可以列出一份自己想要的书单，学生认为老师讲得好，便可以按照书单送书给老师，或者把自己的二手书送给老师，老师如果有这些书了，社长会以老师名义把这些书捐赠给山区。

　　我当时主动参与了这个Project，报名竞选了当老师，但由于没有招募到学生，所以最后不了了之了。

　　1、开始在互联网上讲题

　　这件事，这让我萌生了“通过互联网分享自己所学”的想法，于是我开始录制讲题的短视频，并把这些短视频发到网上。

　　刚开始，讲题视频录得并不顺利，我经常会突然忘记要说什么，或者讲错关键信息。每个视频都要重新录制两三次（视频会同时在微信、抖音和B站发布）。

　　随着录制经验的积累，我逐渐找到了自己讲题的节奏和风格，讲解过程也越来越顺畅。对我来说这并不仅仅是一个数学自媒体，更是我抒发自己对一件事情热爱的途径。

　　同时，我也通过熟人找到了两位学生：

　　一位是新高一的学生L，数学基础一般，中考是最后几个月付出了很多努力，成绩才稍有起色；

　　一位是新初二的学生Z，数学是她的弱势学科，在校外上过一对一的课，但感觉吸收得一般。也许是我们同龄人，比较同频，四节课下来，我觉得她吸收能力是不错的。

　　2、帮新高一L超前学高中数学

　　先说新高一的学生L。L同学在第一节课讲集合运算的时候，理解的就比较慢，经常搞混交集和并集的概念，为了加强理解，我专门安排了一节课去做集合运算练习。

　　第三节课时，L同学又出现了代数运算、数字运算基础不扎实的问题，为了解决这个问题，我专门花时间去编了一份数学代数运算专题讲义，第四节课上，专门去带着L同学进行计算方法的练习（多项式除法、因式分解、一元二次不等式、分式不等式……）。

　　给L同学上的这六节课，让我意识到，在面对数学基础薄弱的同学时，需要在教学过程中保持更多的耐心，并弹性调整自己的讲课详细程度和速度。

　　集合运算中，子集的概念与性质，图源网络

　　3、帮新初二Z超前学初二数学

　　Z同学在第一节课便展现出比较强的理解能力，但是对我提出的一系列几何结论的前置，并没有什么头绪。对此我也表示理解，毕竟初二是真正开始培养几何思维的开始。

　　Z同学也愿意挑战我布置的选做的难题，并且都得出了正确答案。我需要做的，只是不断提醒她答题格式的规范性，以及纠正她跳步和逻辑不通的地方。

　　在这四节新初二课程中，Z同学学会了八上除了“因式分解外”的全部内容，让我也积累了面对不同学生的经验，对她这类学生，我要做好取舍和选择——是讲拓展还是慢慢讲基础。

　　家里的数学习题册

　　高中衔接营，教大家学微积分

　　在七月份所经历的这些教学，也可以理解成践行“费曼学习法”。我自身的逻辑性得到了提升，在自己继续学习数学的时候，也更有耐心地去消化概念，更有条理地去理解知识。

　　7月底，高中开始了为期三周的衔接营，衔接营里我认识了一些同样怀揣着“做数学领域强者”的朋友。我们每天都在交流不同的数学知识。

　　我前期自学的一些大学微积分相关的知识，也在这期间全部分享给了同学们。

　　比如：什么是抛物线的标准定义，什么是抛物线的焦点准线，也给渴望学习微积分的同学初步讲解了极限和求导，包括求极值等内容。

　　衔接营接近尾声，在给一位生病缺课的同学讲解极限这个知识点的时候，我也感觉到，很多同学并没有完全理清极限的概念。于是我在衔接营和军训之间的休息日里，给同学们整理了一份极限和导数的资料（导数是给需要拓展的同学看的）。

　　虽说真正找我要资料的人不多，但看到这份资料能帮助哪怕1位同学，我也有一种满足感（没这么多经验，也没这么伟大，但确实有这个感想）：老师给学生的奉献，最好的回报就是学生对所教知识的理解和运用。

　　军训期间，带同学刷ALEVEL 数学P4

　　军训期间，我给数学实力也比较强的好朋友讲数学，满足了他继续学习微积分的梦想。一节课的时间里，我逐步教会他去求积分，逐步通过ALEVEL P4题目让他学会运用积分，培养积分意识、积分思维。

　　后来又开了一节课，通过〖1.99〗^2.01这个计算的过程，带同学吸收了偏导和多元微分。

　　多元微分

　　军训后的假期，同学跟我说他想去教另一个同学学微积分，这也让我进一步看到了教育的意义：教学的传递，知识的传递。

　　我帮助他出了两份相关内容的习题，也告诉他讲微积分入门该从什么思路引入去讲。今天早上看到他开始教其他的同学，别人还发朋友圈表扬他的耐心和讲题细致，我也由衷为他感到开心。

　　暑假结束前，给11个学生上“大课”

　　8月28日，暑假结束前，我给11个同学上了三个小时的函数专题课。

　　这个大课，也让我第一次对大班教学有了更深层的了解。

　　1、第一次上大课，问题频出

　　课堂上，仅一个知识点，就会出现部分学生明白、部分学生不明白的情况。一开始我会想直接暂停进度，给大家都讲清楚，后来发现这样做之后，本来预先的进度和内容会讲不完。对我来说，这节课的成功和失败是并存的。

　　成功在，同学们对函数有了深层次的认识，也实现了我给同学们讲更多知识的目的。

　　失败在，这节课安排的内容过多，为了一节课讲完函数，很多预先想要深入的地方只能蜻蜓点水，好一部分学生并没完全明白知识的具体用法和含义。

　　课后我开展了问卷调查，结果显示：同学们学了后，还是不知道怎么运用（主要原因在于并不是专门去讲，使得分配到每个知识点的时间和讲解深度就很少）。也有同学提到我拓展的极坐标知识点，他们都是第一次接触，需要时间适应新的坐标体系。

　　为了让同学们更好消化课堂内容，我在前一天就花了三个小时，编了一份课后习题，并细心地把解题过程编好了。

　　但现在看来，由于上个课时部分内容太蜻蜓点水，没有讲透，大多数同学表示可能要花超过四个小时才能完成这份习题，所以最后只能让他们挑着题去做。

　　2、首次上大课的反思

　　没有一个老师希望自己的学生对知识一知半解。所以我也计划在8月30日给同学们再排一节课，把一些重要方面深入讲解，同时讲一些同学们不会的作业，算是对我课程安排失误的补偿。

　　这次首次大班教学，我在课程设置和安排上，欠缺了对同学进度不同的预设，于是课堂教学进度比较失控。也让我更深刻地感受到，老师在带规模更大的一个班，30个、40个、甚至50个同学时候的难处。

　　我发现自己似乎成了曾经自己最不理解的那一类老师，总会为了赶进度选择浅浅掠过一部分内容，而不是一开始就精简内容。

　　上过大课后，好像更能理解我的老师了。每一个老师都希望把自己所知，最大限度地传授给学生，每一个老师都有把学生培养好的教育心。

　　关于开学后，如果有同学想让我帮他们开小灶，只要他门愿意学，我就愿意去帮助他们学习数学，让他们感受数学之美。

　　原标题：《初二刷高中数学, 初三学微积分…不仅自己超前, 还要教同学！》

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