初二数学难题，老师分享：构造轴对称图形的辅助线作法和解题思路

　　轴对称图形的性质在几何证明和计算题中的应用相当广泛，本文就例题详细解析这类题型的解题思路和辅助线作法，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。

　　例题1

　　如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，垂足为E，DF⊥AB于点F，且AB>AC，求证：BF=AC+AF。

　　添加辅助线：

　　连接DC、DB，过点D作DG⊥AC，交线段AC的反向延长线于点G

　　解题过程：

　　根据角平分线性质、题目中的条件和结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等，AD是∠FAG的角平分线，DF⊥AB，DG⊥AC，则DF=DG；

　　根据垂直平分线的性质和题目中的条件：垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，DE是BC的垂直平分线，则DB=DC；

　　根据全等直角三角形的判定、题目中的条件和结论：一组斜边和一组直角边分别相等的两个直角三角形全等，DF⊥AB，DG⊥AC，DB=DC，DF=DG，则Rt△DFB≌Rt△DGC；

　　根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等，Rt△DFB≌Rt△DGC，则BF=CG；

　　根据题目中的条件和结论：BF=CG，CG=AC+AG，则BF=AC+AG；

　　根据全等直角三角形的判定、题目中的条件和结论：一组斜边和一组直角边分别相等的两个直角三角形全等，DF⊥AB，DG⊥AC，AD=AD，DF=DG，则Rt△AFD≌Rt△AGD；

　　根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等，Rt△AFD≌Rt△AGD，则AF=AG；

　　根据结论：BF=AC+AG，AF=AG，则BF=AC+AF。

　　例题2

　　如图，E、B、C三点在一条直线上，AD∥EC，AD=BC，BD=EC，F为AE的中点，求∠BFD的度数。

　　添加辅助线：

　　延长BF和DA，交于点G

　　解题过程：

　　根据题目中的条件：F为AE的中点，则AF=EF；

　　根据平行线的性质和题目中的条件：两直线平行，内错角相等，AD∥EC，则∠GAF=∠BEF；

　　根据全等三角形的判定和结论：两组对应角及其夹边分别相等的两个三角形全等，∠GAF=∠BEF，AF=EF，∠AFG=∠EFB，则△AFG≌△EFB；

　　根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等，△AFG≌△EFB，则FG=FB，AG=EB；

　　根据题目中的条件和结论：AD=BC，AG=EB，DG=AD+AG，EC=EB+BC，则DG=EC；

　　根据题目中的条件和结论：BD=EC，DG=EC，则BD=DG；

　　根据等腰三角形的判定和结论：BD=DG，则△BDG为等腰三角形；

　　根据等腰三角形的性质和结论：等腰三角形底边上的中线就是底边上的高，△BDG为等腰三角形，AF=EF，则DF⊥BG，即∠BFD=90°。

　　结语

　　合理添加辅助线，可以构造出轴对称图形，利用这些特殊几何图形的性质，可以化繁为简，轻松完成几何证明。只有认真审题，仔细观察图形，才能构造出合理的图形，轻松应对这类题型。

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