什么是实数？

　　什么是实数？这个问题对于任何一个学过初中数学的同学都不难回答：实数即是有理数与无理数的统称.但问题是，无理数只不过意味着“不是有理数”，我们没有定义这些数的真正含义.

　　事实上，人类对于实数的认识过程并不是那么容易，今天我们就来和大家聊一聊实数——这个我们熟悉又陌生的老朋友.

　　1 无理数的发现

　　在两千五百年前，毕达哥拉斯学派便提出“万物皆数”.毕达哥拉斯和他的门徒们认为世界上的所有事物均可以用整数亦或是整数之比（实际上就是有理数）表示.实际上，根据我们对数字天然的直觉和经验，有理数貌似在数轴上已然是“稠密的”，比如我们在数轴上任意选择两相异有理数P，Q，都可以构造出线段的中点R，其中

　　因为P，Q都是有理数，则R显然也是一个有理数.然后我们可以依此类推，取更多的中点，这样似乎总是能将线段PQ上的点取遍，从而“铺满”整个数轴.

　　然而，可惜的是，一个人人都能够理解的几何事实便无情地撼动了毕达哥拉斯学派的信仰基础.

　　毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现正方形对角线与边长为不可公度量（用今天的数学语言来说，即是

　　无法写成两个互素整数之比p/q）.

　　的发现直接推翻了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条.

　　有理数“有道理”，无理数“没道理”吗？

　　2 有理数中的“缝隙”

　　我们已经知晓了“

　　”这一事实，换句话说，有理数并不能“铺满”整个数轴，Q在数轴上留下了许许多多的“缝隙”，这与我们对数字的直觉是矛盾的.实际上我们可以进一步通过严密的数学逻辑证明如下命题：

　　“（Q存在“缝隙”）存在没有最小元素的有理数的子集，也存在没有最大元素的有理数的子集.

　　证明：我们令

　　这其实就等价于

　　即集合A的元素为所有小于

　　的有理数，集合B的元素为所有大于等于

　　的有理数.

　　并且，显然我们发现

　　直观来看，这就相当于对数轴上的所有有理数以为分界“切了一刀”，左边是A，右边是B.

　　我们任取

　　且p>0，再令

　　接下来神奇的事将会出现！因为此时

　　这里我们分情况讨论：

　　如果

　　，则

　　，上述两个式子说明p-q>0且

　　，这就意味着此时q是一个比p更大的且在集合A中的有理数.

　　如果

　　，则

　　，但又因为对任意有理数p都有

　　，则

　　，故上述两个式子说明q-p<0且

　　，这就意味着此时q是一个比p更小的且在集合B中的有理数.

　　综上所述，A中没有最大的有理数，B中没有最小的有理数.上述例子说明Q虽然“稠密”，但仍然有“缝隙”，用更严谨的数学语言来说，这些“缝隙”使得Q缺少了上确界这一特殊性质.

　　3 戴德金分割

　　为了填满Q中的这些“缝隙”，我们可以从Q出发，延用上面“分割”的想法来定义实数，这个天才的想法来自于德国近代数学家戴德金，他被誉为近代抽象数学的先驱，在实数和连续性理论方面提出了著名的“戴德金分割”.

　　戴德金（1831-1916）

　　戴德金注意到，对于任意一个有理数x0，如果令

　　则A,B一定满足

　　且A没有最大元素，B有最小元素x0.

　　这就说明，任何一个有理数都唯一对应了这样一种分割(A,B).

　　有理数自然产生了无穷多个分割.但是，如果我们考虑A没有最大元素，也没有最小元素的情形，就和上述

　　的例子类似了，戴德金在其著作中这样描述:

　　“但不管什么时候我们都必须处理非有理数产生的一个分割(A,B)，这样，我们就构造出了一个新数，并且是无理数，我们认为它完全可以由(A,B)这个分割来定义；我们会说数x0对应于这个分割，或者说它产生了这个分割.

　　这种分割就定义了一个无理数，或者说这个分割就是一个无理数.这是因为我们相当于在全部有理数集Q中定义了一个确定的分割，A,B两个集合从直观上来看趋于“相交”，为使这个两个集合“相交”，这个分割必须用某个“数”填充起来，由上述讨论可知，这个数不可能用有理数来填充，或者说不可能与有理数相对应.

　　因此，全部可能的分割组成了数轴上包括有理数和无理数的每一个点，统称为实数.这即是实数的（其中一种）严格定义.

　　我们不得不佩服戴德金天马行空的构想，戴德金的导师高斯有一句名言：

　　“数只是我们心灵的产物.

　　戴德金对此非常赞同，并在其一生的数学研究中践行这一理念，他认为数是人类心灵的自由创造.后世包括希尔伯特、艾米·诺特在内的众多数学家都继承了他的思想衣钵.

　　参考文献

　　[1]Rudin.数学分析原理[M].机械工业出版社,2004.

　　[2]王淑红,孙小淳.心灵的创造:戴德金的数学思想[J].自然辩证法通讯,2019,41(02):115-122.DOI:10.15994/j.1000-0763.2019.02.018.

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　　来源：大小吴的数学课堂

　　编辑：利有攸往

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