初中数学学霸学习笔记八上04一次函数（数学思想方法、学习技巧）

　　初中、高中数学学习，要养成善于思考、归纳整理、举一反三的良好习惯。希望我们能从此笔记中领悟出重要的数学学习方法和技巧，取人之长，补己之短，站在前人的肩膀上，我们才能取得更好的成绩！

　　初中数学课堂

　　一、函数

　　一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

　　1、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫作自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）

　　2、函数的三种表示法

　　（1）关系式（解析）法 （2）列表法 （3）图象法

　　3、由函数关系式画其图像的一般步骤

　　（1）列表 （2）描点 （3）连线

　　二、一次函数与正比例函数

　　若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时（即y=kx）（k为常数，k≠0），称y是x的正比例函数。

　　三、一次函数的图像

　　1、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线

　　2、正比例函数图像的性质：

　　（1）正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）；

　　（2）在正比例函数y=kx中，当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小。

　　3、一次函数的性质

　　（1）一次函数y=kx+b的图像经过点（0，b） 。

　　（2）当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小 。

　　4、函数解析式的确定：

　　（1）待定系数法；（2）平移法

　　四、一次函数的应用

　　一次函数与一元一次方程的关系：

　　一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解。从图像上看，一次函数 y=kx+b的图像与x轴交点的坐标就是方程kx+b=0的解。

　　为了培养孩子的数学学习兴趣，可以让孩子读读这本数学小故事：

　　五、一次函数解题时常用的数学思想方法

　　5.1、函数思想（或函数与方程的思想）

　　函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。

　　例1、某销售公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：

　　（1）求每种付酬方案y关于x的函数表达式；

　　（2）当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．

　　

　　解：（1）设方案一的解析式为y=kx，把（40，1600）代入解析式，可得k=40，故解析式为y=40x；

　　设方案二的解析式为y=ax＋b，把（40，1400）和（0，600）代入解析式，可得a=20，b=600，故解析式为y=20x＋600；

　　（2）根据两直线相交可得方程40x=20x＋600，解得x=30.（8分）根据两函数图像可知，当x＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．

　　5.2、数形结合思想

　　数形结合思想：就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。使抽象思维和形象思维结合起来，通过“以形助数”，和“以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.

　　数形结合思想为什么那么重要呢？因为很多题目只要结合图形，就会变得非常简单，下面我们来看一道例题：

　　例2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC ≌ △DEF，AB=BC=5,若点A的坐标为(-3,1)，点B、C在直线y=-3上，点D在y轴的正半轴上，且点E的坐标为(0,-1)，则点F的坐标为（ ）

　　

　　解：如图，作FH⊥DE于点H，CG⊥AB于G。

　　∵点A到直线BC的距离为d=1-(-3)=4 即F点横坐标

　　△ABC ≌ △DEF

　　∴FH = CG =4

　　EF=BC=5

　　∴EH=3 （根据勾股定理）

　　而E(0,-1)

　　∴HO = 3-1=2 即F点纵坐标

　　∴F（4,2）

　　

　　5.3、分类讨论的思想

　　分类讨论的思想是指把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，或者有些问题包括多种情况时，要分情况讨论。运用分类讨论思想时要注意：每一次分类要按照同一标准；分类时要做到不重不漏。

　　例3、如图，直线y=2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.

　　（1）求点A，B的坐标；

　　（2）求当x=－2时，y的值，当y=10时，x的值；

　　（3）过点B作直线BP与x轴相交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积．

　　

　　5.4、特殊与一般思想

　　由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一。数学研究也不例外，这种由特殊到一般，再由一般到特殊研究数学问题的基本认识过程就是特殊与一般的思想。

　　在本章中，正比例函数就是一次函数的特殊形式。

　　例4、一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都经过点P（－2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）．

　　求出这两个函数的表达式.

　　解：设正比例函数的表达式为y=k1x，则2=k1×（－2），解得k1=－1.

　　所以正比例函数的表达式为y=－x.

　　设一次函数的表达式为y=k2x＋b，

　　则2=k2×（－2）＋b，4=b，

　　解得b=4，k2=1，

　　所以一次函数的表达式为y=x＋4.

　　今天的一次函数数学思想方法、学习技巧归纳就介绍到这里，大家感兴趣可以参考一下 《新东方中考数学冲刺 函数 初中一次二次反比例函数专题》 本书详细介绍了一次函数的性质、应用等知识，一次函数的解题技巧和方法

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