初三数学 中考复习 存在性问题之等腰三角形的存在性问题方法讲解
#中考数学复习#今天来给大家分享存在性问题之等腰三角形的存在性问题方法讲解。
01模型讲解
要注意“AB=AC”与“△ABC是等腰三角形”的区别.
前者不仅表明△ABC是等腰三角形,而且还明确了等腰三角形中的腰和底,后者并未明确等腰三角形的腰和底,所以在已知条件中,若无相应图形条件的补充,“△ABC是等腰三角形”应分三种情况来分析:AB=AC,AB=BC,AC=BC.
一般情况下,此类问题中,△ABC中的其中两个顶点是可以明确其位置(坐标)的,不妨设为点A、点B,则AB的长度为定长,第三个顶点C可以这样确定(示意图如下):
若AB=AC,则点C在以A为圆心、AB长为半径的圆上(A、B、C三点不共线);若BA=BC,则点C在以B为圆心、AB长为半径的圆上(A、B、C三点不共线);若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线上(点C不在线段AB上).当然,点C还受到已知条件的其他约束,如已知点C在某一条确定的直线上,则该直线与上述作图轨迹的交点即为符合条件的点C的位置.
示意图在平面直角坐标系中,已知点A、点B的坐标,点C在某一确定直线上,若以点A、点B、点C为顶点的三角形是等腰三角形,则还可利用勾股定理,把AB、AC、BC表示出来,按照AB=AC或AB=BC或AC=BC建立相应方程求解.
02例题
如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,-n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、QB、AB,线段AB交y轴于点C.巳知实数m、n,(m<n)分别是方程x-2x-3=0的两根.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若点P为线段OB上的一个动点,连接PC.当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标.
图103例题思路
(1) 通过方程可确定A,B两点的坐标,进而利用待定系数法求出二次函数解析式.
(2) 首先求出AB的直线解析式,以及BO的直线解析式.若△OPC是等腰三角形时,有以下三种可能:OC=OP或OC=PC或OP=PC.利用等腰三角形的性质可分别求出三种情况下x的值。
04例题详解
(1)解方程x-2x-3=0,得 x1=3,x2= -1.
因为m<n,所以m =-1,n=3.所以A(-1,-1)、B(3,-3).
因为抛物线过原点,设抛物线的解析式为y=ax+bx.
所以-1=a-b,-3=9a+3b,解得a= -1/2,b=1/2.
所以抛物线的解析式为y= -1/2*x+1/2*x.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b.
所以 -1= -k+b,-3=3k+b,解得k= -1/2,b= -3/2.
所以直线AB的解析式为y= -1/2*x -3/2.所以C点坐标为(0, -3/2).
因为直线OB过点O(0,0)、B(3, -3),所以直线OB的解析式为y= -x..
因为△OPC为等腰三角形,所以 OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC.
设 P(x, -x).
(i) 当 OC=OP 时,x+(-x) = 9/4.
解得x1=(四分之三倍根号二),x1= - (四分之三倍根号二)(舍去).
所以P1 (四分之三倍根号二,负的四分之三倍根号二).
(ii) 当OP=PC时,点P在线段OC的中垂线上,
所以P2(3/4,- 3/4).
(iii) 当 OC=PC 时,由x+(-x+3/2) = 9/4,
解得x1=3,x2=0(舍去).所以P3(3/2,-3/2).
所以P点坐标为(四分之三倍根号二,负的四分之三倍根号二)或(3/4,- 3/4)或(3/2,-3/2).
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