初二数学期中复习，这道动点题很难，用勾股定理分类讨论轻松求解

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　　求满足条件的动点是初二数学的常考压轴题型，也是很多同学比较犯难的题型，本文就例题详细解析关于三角形的动点问题的解题方法，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。

　　例题

　　如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD=2:3:4，

　　（1）试证明△ABC是等腰三角形；

　　（2）已知S△ABC=40，如图2，动点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒），

　　①若△DMN的边与BC平行，求t的值；

　　②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由。

　　1、证明：△ABC是等腰三角形

　　设BD=2k，AD=3k，CD=4k

　　根据勾股定理：CD⊥AB，BD=2k，CD=4k，BC^2=BD^2+CD^2，则BC=2√5k；

　　根据勾股定理：CD⊥AB，AD=3k，CD=4k，AC^2=AD^2+CD^2，则AC=5k；

　　根据题目中的条件：BD=2k，AD=3k，则AB=AD+BD=5k；

　　根据结论：AC=5k，AB=5k，则AC=AB，即△ABC是等腰三角形。

　　2、当△DMN的边与BC平行时，求t的值

　　根据三角形面积公式和题目中的条件、结论：AB=5k，CD=4k，S△ABC=40，则S△ABC=AB*CD/2=40，可求得k=2；

　　根据结论：BD=2k，AD=3k，CD=4k，AB=5k，k=2，则BD=4，AD=6，CD=8，AB=10；

　　（1）DN∥BC

　　根据平行线的性质和题目中的条件：两直线平行同位角相等，DN∥BC，则∠ADN=∠B，∠AND=∠ACB；

　　根据等边对等角性质和结论：AC=AB，则∠B=∠ACB；

　　根据结论：∠ADN=∠B，∠AND=∠ACB，∠B=∠ACB，则∠ADN=∠AND；

　　根据等角对等边性质和结论：∠ADN=∠AND，则AN=AD；

　　根据结论：AD=6，AN=AD，则AN=6；

　　根据题目中的条件和结论：点N的运动速度为1个单位长度/s，运动距离AN=6，则运动时间t=6。

　　（2）MN∥BC

　　根据平行线的性质和题目中的条件：两直线平行同位角相等，MN∥BC，则∠AMN=∠B，∠ANM=∠ACB；

　　根据结论：∠AMN=∠B，∠ANM=∠ACB，∠B=∠ACB，则∠AMN=∠ANM；

　　根据等角对等边性质和结论：∠AMN=∠ANM，则AN=AM；

　　根据题目中的条件和结论：点M、N的运动速度均为1个单位长度/s，运动ts，则点M的运动距离BM=t，点N的运动距离AN=t；

　　根据结论：BM=t，AB=BM+AM，AB=10，则AM=10-t；

　　根据结论：AM=10-t，AN=t，AN=AM，则t=5。

　　所以，当△DMN的边与BC平行，t的值为5或6。

　　3、当△MDE为等腰三角形时，求t的值

　　根据结论：BM=t，BD=4，则MD=BM-BD=t-4；

　　根据直角三角形的性质和题目中条件：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，CD⊥AB，点E是边AC的中点，则DE=CE=AE=AC/2；

　　根据结论：AC=10，DE=AC/2，则DE=5；

　　（1）MD=ME

　　过点E作EF⊥AD于点F

　　根据平行线的判定和结论：EF⊥AD，CD⊥AB，则EF∥CD；

　　根据中位线定理和结论：EF∥CD，点E是边AC的中点，则EF=CD/2，DF=AD/2；

　　根据结论：EF=CD/2，DF=AD/2，CD=8，AD=6，则EF=4，DF=3；

　　根据题目中的条件和结论：MD=ME，MD=t-4，则ME=t-4；

　　根据结论：MD=t-4，DF=3，则MF=MD-DF=t-7；

　　根据勾股定理和结论：EF⊥AD，EF=4，MF=t-7，ME=t-4，ME^2=EF^2+MF^2，则t=49/6。

　　（2）ME=DE

　　根据题目中的条件和结论：DE=AE，ME=DE，则点M与点A重合；

　　根据结论：AB=10，点M与点A重合，则BM=10；

　　根据题目中的条件和结论：点M的运动速度为1个单位长度/s，运动距离BM=10，则运动时间t=10。

　　（3）MD=DE

　　根据题目中的条件和结论：MD=DE，DE=5，MD=t-4，则t-4=5，可求得t=9。

　　所以，当△MDE为等腰三角形时，t的值为49/6或10或9。

　　结语

　　解决本题的关键是根据等腰三角形性质得到线段之间的数量关系，把线段用含t的代数式表示，再利用勾股定理列出含有t的方程进行求解。

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