2021年陕西省中考数学试卷及答案

　　2021年陕西省中考数学试卷

　　一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）

　　1．（3分）﹣18的相反数是（　　）

　　2．（3分）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）

　　A．57° B．67° C．77° D．157°

　　3．（3分）2021年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　）

　　A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103

　　4．（3分）如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　）

　　A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃

　　6．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

　　7．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）

　　A．2 B．3 C．4 D．6

　　8．（3分）如图，在ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

　　9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

　　A．55° B．65° C．60° D．75°

　　10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）

　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

　　二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

　　12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　 　．

　　14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　 　．

　　三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）

　　17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

　　18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

　　19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：

　　（1）这20条鱼质量的中位数是　 　，众数是　 　．

　　（2）求这20条鱼质量的平均数；

　　（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

　　20．（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．

　　21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．

　　（1）求y与x之间的函数关系式；

　　（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

　　22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

　　（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

　　（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

　　23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

　　（1）求证：AD∥EC；

　　（2）若AB＝12，求线段EC的长．

　　24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

　　（1）求该抛物线的表达式；

　　（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

　　25．（12分）问题提出

　　（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　 　．

　　问题探究

　　问题解决

　　（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．

　　①求y与x之间的函数关系式；

　　②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

　　2021年陕西省中考数学试卷

　　参考答案与试题解析

　　一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）

　　1．（3分）﹣18的相反数是（　　）

　　【解答】解：﹣18的相反数是：18．

　　故选：A．

　　2．（3分）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）

　　A．57° B．67° C．77° D．157°

　　【解答】解：∵∠A＝23°，

　　∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．

　　故选：B．

　　3．（3分）2021年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　）

　　A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103

　　【解答】解：990870＝9.9087×105，

　　故选：A．

　　4．（3分）如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　）

　　A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃

　　【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，

　　故选：C．

　　故选：C．

　　6．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

　　故选：D．

　　7．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）

　　A．2 B．3 C．4 D．6

　　【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，

　　∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），

　　故选：B．

　　8．（3分）如图，在ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

　　【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，

　　∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，

　　∴F是AG的中点，

　　∴EF是梯形ABCG的中位线，

　　∴CG＝2EF﹣AB＝3，

　　又∵CD＝AB＝5，

　　∴DG＝5﹣3＝2，

　　故选：D．

　　9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

　　A．55° B．65° C．60° D．75°

　　【解答】解：连接CD，

　　∵∠A＝50°，

　　∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，

　　∵E是边BC的中点，

　　∴OD⊥BC，

　　∴BD＝CD，

　　故选：B．

　　10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）

　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

　　∵m＞1，

　　∴m﹣1＞0，

　　故选：D．

　　二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

　　＝4﹣3

　　＝1．

　　12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　144°　．

　　【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，

　　所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，

　　故答案为：144°．

　　【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，

　　∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，

　　∴3×2＝﹣6m，

　　∴m＝﹣1，

　　故答案为：﹣1．

　　【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，

　　得矩形AGHE，

　　∴GH＝AE＝2，

　　∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，

　　∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，

　　∵EF平分菱形面积，

　　∴FC＝AE＝2，

　　∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，

　　在Rt△EFH中，根据勾股定理，得

　　三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）

　　由①得：x＞2，

　　由②得：x＜3，

　　则不等式组的解集为2＜x＜3．

　　去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，

　　17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

　　【解答】解：如图，点P即为所求．

　　18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

　　【解答】证明：∵DE＝DC，

　　∴∠DEC＝∠C．

　　∵∠B＝∠C，

　　∴∠B＝∠DEC，

　　∴AB∥DE，

　　∵AD∥BC，

　　∴四边形ABED是平行四边形．

　　∴AD＝BE．

　　19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：

　　（1）这20条鱼质量的中位数是　1.45kg　，众数是　1.5kg　．

　　（2）求这20条鱼质量的平均数；

　　（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

　　【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，

　　故答案为：1.45kg，1.5kg．

　　∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；

　　（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），

　　答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．

　　20．（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．

　　【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，

　　∴∠CEF＝∠BFE＝90°，

　　∵CA⊥AM，NM⊥AM，

　　∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，

　　∴CE＝BF，ME＝AC，

　　∠1＝∠2，

　　∴△BFN≌△CEM（ASA），

　　∴NF＝EM＝31+18＝49，

　　由矩形性质可知：EF＝CB＝18，

　　∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．

　　答：商业大厦的高MN为80m．

　　21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．

　　（1）求y与x之间的函数关系式；

　　（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

　　【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），

　　则：20＝15k，

　　当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），

　　33﹣15＝18（天），

　　∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．

　　22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

　　（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

　　（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

　　（2）画树状图得：

　　∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，

　　23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

　　（1）求证：AD∥EC；

　　（2）若AB＝12，求线段EC的长．

　　【解答】证明：（1）连接OC，

　　∵CE与⊙O相切于点C，

　　∴∠OCE＝90°，

　　∵∠ABC＝45°，

　　∴∠AOC＝90°，

　　∵∠AOC+∠OCE＝180°，

　　∴∴AD∥EC

　　（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

　　∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，

　　∴∠ACB＝60°，

　　∴∠D＝∠ACB＝60°，

　　∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，

　　∴四边形OAFC是矩形，

　　又∵OA＝OC，

　　∴四边形OAFC是正方形，

　　∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，

　　∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

　　24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

　　（1）求该抛物线的表达式；

　　（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

　　故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

　　（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，

　　故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），

　　故OA＝OC＝3，

　　∵∠PDE＝∠AOC＝90°，

　　∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，

　　设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，

　　故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），

　　故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；

　　当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，

　　综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．

　　25．（12分）问题提出

　　（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　CF、DE、DF　．

　　问题探究

　　问题解决

　　（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．

　　①求y与x之间的函数关系式；

　　②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

　　【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

　　∴四边形CEDF是矩形，

　　∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

　　∴DE＝DF，

　　∴四边形CEDF是正方形，

　　∴CE＝CF＝DE＝DF，

　　故答案为：CF、DE、DF；

　　（2）连接OP，如图2所示：

　　∴∠ABP＝30°，

　　同（1）得：四边形PECF是正方形，

　　∴PF＝CF，

　　∵PB＝PF+BF，

　　∴PB＝CF+BF，

　　（3）①∵AB为⊙O的直径，

　　∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

　　∵CA＝CB，

　　∴∠ADC＝∠BDC，

　　同（1）得：四边形DEPF是正方形，

　　∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，

　　∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：

　　则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，

　　∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，

　　②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，

　　解得：PF＝24，

　　∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），

　　∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．

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