全国中学生数学奥林匹克竞赛〖竞赛基础篇〗

　　新的一轮竞赛即将开始，最早的数学竞赛预赛已经进入倒计时，部分省市5月底6月初就会比赛，晚一点的省市会设在7月，而联赛则设在9月份，还有3个月左右。很多高一高二的同学都是第一次参加，该如何复习呢？今天就从什么是高中数学竞赛开始深入浅出地位大家介绍高中数学竞赛有什么用以及如何学习。

　　一、什么是高中数学竞赛？

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　　高中数学竞赛简介

　　我们现在所说的高中数学竞赛，通常指的是全国中学生数学奥林匹克竞赛，由中国数学会和中国科学技术学会共同举办，简称数学竞赛、数学高联。

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　　高中数学竞赛流程

　　（1）预赛：预赛一般由各省自行组织，时间不一，一般安排在6、7月左右

　　（2）联赛：2022年在9月11日（星期日）

　　一试：9月11日 8:00-9:20

　　二试：9月11日 9:40-12:30

　　（3）决赛（冬令营）：一般在10-11月举行，得出国一、国二、国三奖项，其中60人进入国家集训队选拔。

　　（4）IMO：进行两轮集训队选拔，最终选出6人组成国家队参加IMO

　　二、学习数学竞赛有什么好处

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　　数学竞赛对应的升学途径

　　说到数学竞赛的好处首先当然要说和升学相关的，数学竞赛的含金量是五项学科竞赛（甚至几乎是高中所有竞赛）里最高的，所以高校认可度也最高，升学作用最大，总的来说有以下几条路径：

　　（1）国集保送

　　如果能够在五项学科竞赛中获得金牌且进入国家集训队，就可以直接保送清华北大，且专业任选；要想进入国家集训队，非常难，要过五关斩六将，且全国仅有60个集训队名额（数学一项）。从一百来万竞赛生里脱颖而出，成为佼佼者，实在很难呐。

　　（2）金银牌强基破格

　　如果取得全国决赛的金牌、银牌，可以获得降分进清北复交浙科南等名校的机会。2020年开始的强基计划特意为竞赛党们留了“破格入围”的机会，五项学科金牌、银牌可以破格入围全部39所“双一流”高校，这样一来就免去了在入围阶段和其他普通高考生一起竞争的压力，直接进入校考阶段，而校考阶段难度高于高考，明显对我们竞赛党更有利。

　　（3）清华“新领军”、 北大数学英才班

　　清华“新领军”是2021年年初清华大学发布的一个招生项目，全称是“清华大学2021年丘成桐数学科学领军人才培养计划”，主要面向高一高二，与中科大少年班、创新班招收年级一致，特别优秀的考生扩展到初三和高三，数学好的考生很占优势。

　　招生规模还是很可观的，考上的考生可以直接参考保送生的录取规则进入清华，做到“一考免三考”甚至“一考免四考”，是一个进清华的很好的机会。

　　北大数学英才班也是面向低年级数学好的学生，不过招生规模没有新领军大，其他条件上差不多。

　　（4）中科大少创班

　　科大少创班是目前最受考生和家长关注的少年班，2021年起中科大创新班在招录方式上对竞赛生做了非常特殊的倾斜，可以称之为中科大创新班新政，真的大快竞赛党心，对高三强基计划在一定程度上做了纠偏。

　　省一初试期间加10分参加入围复试的选拔，铜牌初试期间加10分参加入围复试的选拔。通过选拔的考生最低可一本线进入中科大，优惠力度之大不言而喻。

　　（5）参加学科营

　　获得省一等奖的同学，有机会参加清华北大的金秋营、冬令营，也有推荐招生部门的可能；争取不到清华北大学科营的机会，其他名校如上海交大、中科大也举办了此类学科营。

　　提示：虽然现在学科营不能直接拿降分了，但是很多高校把学科营和强基挂钩，学科营优秀学员在强基面试环节会有不错的印象分。

　　（6）综合评价

　　省一等奖的同学除了有机会参加学科营以外，在综合评价中也有一定优势，不少高校在综合评价招生简章中表示“欢迎有竞赛奖项的同学报考”，而且更重要的是，在综合评价中竞赛奖项不是必须的，而是加分项，因此哪怕没有金牌、银牌，只有省一省二，也可以尝试报考！

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　　数学竞赛带来的能力提升

　　1、竞赛锻炼思维能力。

　　竞赛中的知识在常规的学习中用不到，这是个事实。然而，每一门学科除了有相应的知识外更是有相应的思维方式，这也是文理都超强的人很少的原因。

　　思维这种东西单靠记笔记、背公式是学不来的。学过竞赛之后，做常规题目最大的不同，就是有一种看得很透的感觉，别的同学只是背出来的公式，而学过竞赛的同学可以自己推导，可以拓展。所以说，竞赛这东西对于学科成绩的帮助，主要就在锻炼思维能力上。

　　2、竞赛对课内成绩提高有促进作用。

　　因为竞赛难度大，同学们会为了理解得更透彻，知识点掌握得更熟悉而下很多功夫在这门学科上。知识之间是有联系的，数学学得深的同学往往能很好的认识物理公式、定义、概念。

　　也就是说，深入学好一门学科时能更好的理解其他学科，带动总体成绩的提高。参加竞赛的同学为了节约时间去准备竞赛，会不由自主地提高课内学习效率。在保质保量的前提之下，加速课内学习任务的完成，从而拥有足量的时间学习竞赛，这种学习效率的提高无疑会对课内成绩提升有较大的帮助。

　　有了参加这门学科课程竞赛的欲望，有了学习这门学科课程的兴趣，孩子（学生）势必就会对这门学科予以比较的关注。愈是关注，愈发有兴趣；愈是有兴趣，就会愈发关注。兴趣加关注，将会使孩子（学生）对这门学科课程进行专研，即自学，自发的从现在学习的章节往后面的章节学。这就是往多了学，往深了学的开始。这样一来，这门学科课程学习的宽度广度和深度就都有了。

　　3、学科竞赛对高考有帮助。

　　加竞赛以及竞赛前的准备过程，肯定需要花费很多时间和精力，但所有的竞赛准备到高三上学期就结束了，还有一年的时间进行高考复习，所以对高考的影响不会很大。

　　并且，参加竞赛对高考也是有帮助的。比如全国高中数学联赛，一试的难度与高考难度很相似。高考的最后一道压轴题难度也与竞赛题相似，对参加过竞赛的同学来说，做高考题是比较有优势的。

　　最后，竞赛还能培养同学思考的能力，养成做事严谨的作风，这些都是人生宝贵的财富。

　　三、如何学习数学竞赛

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　　预赛、联赛、决赛分别要学什么程度

　　全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2003年《普通高中数学课程标准（实验）》规定的数学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

　　全国高中数学联赛（二试）与中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加些数学课程标准之外的内容，如：

　　1．平面几何

　　几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

　　三角形旁心、费马点、欧拉线；

　　几何不等式；

　　几何极值问题；

　　几何中的变换：对称、平移、旋转；

　　圆的幂和根轴：面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

　　2．代数

　　周期函数，带绝对值的函数；

　　三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

　　递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；

　　第二数学归纳法；

　　平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；

　　复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

　　多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

　　n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；

　　函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

　　3．初等数论

　　同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

　　4．组合问题

　　圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

　　组合计数，组合几何；

　　抽屉原理

　　容斥原理；

　　极端原理；

　　图论问题；

　　集合的划分；

　　覆盖；

　　平面凸集、凸包及应用*。

　　(有*号的内容加试中暂不考，但在CMO、IMO中可能考。)

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　　推荐书目

　　入门书单

　　01.奥数教程（熊斌，冯志刚 著）

　　这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本，是比较基础、入门级的竞赛教程。

　　《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点，比较适合刚接触竞赛的学生使用。

　　对于刚接触竞赛的学生，可以先只学习高一和高二分册，因为联赛一试部分的内容只在这两册基础篇。高一年级分册包括的知识点有：集合、函数、数列、三角函数、向量和立体几何，除了集合包含一定的组合知识，其他的内容均为纯粹的一试内容。高二年级分册的基础篇包括：一试难度的不等式，解析几何和复数。

　　02.2019年全国高中数学联赛备考手册

　　中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会 著

　　这本书每年出版一本，集合了各个省市联赛预赛的试题及答案详解，预赛命题人员大多为各省市数学会成员，题型和难度一般和高联一试相当，可以在学完一遍一试后作为练习题使用。

　　进阶书单

　　03.数学奥林匹克小丛书（熊斌，刘诗雄，冯志刚等 著）

　　俗称“小蓝本”，这套书共18册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，力图用各种方法介绍数学竞赛中的18个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。

　　04.奥赛经典（湖南师范大学出版社）

　　针对高联二试四大模块，主要介绍了每个模块的重要知识点及解决这类问题的基本方法，同时配备了一些高联难度的例题（个别例题为CMO和IMO中的简单题），非常全面。

　　其中《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》是组合这一块综合性的大百科全书，除了第一二章可以略看，后五章要认真刷完，题量大，题目质量很高，对于组合能力的提升有极大帮助。

　　05.中等数学（增刊一）

　　天津师范大学;天津市数学学会

　　中国数学会普及工作委员会 主办

　　《中等数学》这本杂志分为月刊和增刊，月刊主要包含数学讲座、命题与解题、专题写作、数海拾贝等栏目，其中刊载的文章对提升解题思想方法有很大帮助，可以当课外读物。『增刊一』集合了国内顶尖教练投稿的高联模拟题，特别适合学完竞赛基础知识后拿来练手。

　　高阶书单

　　06.数学奥林匹克命题人讲座

　　单墫 主编 / 上海科技教育出版社

　　这套书共分为《解析几何》、《函数迭代与函数方程》、《代数不等式》、《圆》、《初等数论》、《集合与对应》、《数列与数学归纳法》、《组合问题》、《图论》、《组合几何》、《向量与立体几何》、《三角函数·复数》等12册。难度较大，比较适合已经有了一定竞赛学习基础，想冲刺冬令营的同学，可以有针对性得分模块进行学习提高。

　　以《初等数论》这本书为例，该书涵盖了大量的习题，是数论这一块的黄金题库，题目质量非常高，一道道题刷下来，数论这块的能力将会得到质的提升。

　　07.数学竞赛研究教程

　　单墫 著 / 上海教育出版社 /

　　数学竞赛研究教程（上、下）

　　这本书分上下两册，共50讲，包括数论、代数、几何、组合等方面的问题及解题、命题的讨论。本书的重点并不在于增添更多的知识，而是鼓励学生运用已有的知识去解题。难度较大，建议学完一轮后，用于提升思维方法。

　　08.走向IMO数学奥林匹克试题集锦（2020）

　　作者：2020年IMO中国国家集训队教练组

　　这本书每年出版一本，以当年国家集训队的测试选拔题为主体，集合了国内主要数学竞赛及IMO，罗马尼亚、美国、俄罗斯等国家数学奥林匹克的试题与解答，难度较大。尤其是每年的集训队选拔题，这些试题大都是从事数学奥林匹克教学和研究的专家们的精心创作，其中的一些解答源自国家集训队和国家队队员，有利于同学们开拓眼界，见识更多题目和精妙的解法。

　　09.《中等数学》（增刊二）

　　《中等数学》编辑部 编

　　2018-07-01 / 哈尔滨工业大学出版社

　　《中等数学》增刊（二），集合了各国数学竞赛题，均有详细的答案讲解，和《走向IMO》难度差不多。

　　总结：学习竞赛是一条艰苦的路，但是只要能坚持到最后每位同学都会有所收获！